Questão 4

FUVEST 2005

Matemática

(FUVEST - 2005 - 2 FASE) A figura representa duas circunferências de raios R e r com centros nos pontos A e B, respectivamente, tangenciando-se externamente no ponto D. Suponha que:

a) As retas t₁ e t₂ são tangentes a ambas as circunferências e interceptam-se no ponto C.

b) A reta t₂ é tangente às circunferências no ponto D. Calcule a área do triângulo ABC, em função dos raios R e r.

Gabarito:

Resolução:

h = DC é a altura relativa ao lado AB do triângulo ABC, então:

No triângulo em vermelho, de acordo com o Teorema de Pitágoras, tem - se:

$\ (AB)^{2} = (AO)^{2} + (OB)^{2} \ \ (R+r )^{2} = (R-r)^{2} + (2h)^{2} \ \ h = sqrt{Rr}$

Com isso, a áre S do triângulo ABC é dada por:

$S = frac{AB. h }{2} = frac{(R+r)sqrt{Rr}}{2}$

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