Questão 8

FUVEST 2005

Matemática

(FUVEST - 2005 - 2 FASE) A base ABCD da pirâmide ABCDE é um retângulo de lados AB = 4 e BC = 3. As áreas dos triângulos ABE e CDE são, respectivamente, $4sqrt{10}$ e $2sqrt{37}$ . Calcule o volume da pirâmide.

Gabarito:

Resolução:

I) Temos que a área do triângulo ABE é:

$A_{ABE} = 4sqrt{10}$

Então a altura FE relativa ao lado AB desse triângulo é tal que:

$\ frac{4. FE}{2} = 4sqrt{10} \ \ FE = 2 sqrt{10 }$

II)

A área do triângulo CDE é $2 sqrt{37}$ , com isso a altura GE relativa ao lado DC desse triângulo é tal que:

$frac{4. GE}{2} = 2sqrt{37} \ \ GE = sqrt{37}$

III)

Sendo h a altura da pirâmide, e também o triângulo EFG em relação ap lado FG, e x a projeção ortogonal de GE sobre FG, temos:

$\ h^{2} + x^{2} = 37 \ \ h^{2} + (3-x)^{2} = 40$

Portanto, temos:

$\ h^{2} + 1^{2} = 37 \ \ h = 6$

4) Volume da pirâmide:

$V = frac{1}{3 }. (4.3)6 = 24$

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