Questão 37

FUVEST 2008

Matemática

(FUVEST - 2008 - 1ª FASE) O triângulo ACD é isósceles de base CD e o segmento OA é perpendicular ao plano que contém o triângulo OCD , conforme a figura:

Sabendo-se que OA=3, AC=5 e $sin mathrm{Ohat{C}D}=frac{1}{3}$ , então a área do triângulo OCD vale

$frac{16sqrt{2}}{9}$ .

$frac{32sqrt{2}}{9}$ .

$frac{48sqrt{2}}{9}$ .

$frac{64sqrt{2}}{9}$ .

$frac{80sqrt{2}}{9}$ .

Gabarito:

$frac{32sqrt{2}}{9}$ .

Resolução:

No triângulo retângulo BOC, onde B é o ponto médio de $overline{CD}$ , temos que:

$1)$ $sen(Ohat{C}B)=frac{OB}{OC}Leftrightarrow frac{1}{3}=frac{OB}{4}Leftrightarrow OB=frac{4}{3}$

$(OB)^{2}+(BC)^{2}=(OC)^{2}Rightarrow (frac{4}{3})^{2}+(BC)^{2}=4^{2}Leftrightarrow (BC)^{2}=frac{128}{9}Leftrightarrow BC=frac{8sqrt{2}}{3}$

A área do triângulo OCD será então:

$S=frac{CD.OB}{2}=BC.OB$

Logo:

$S=frac{8sqrt{2}}{3}.frac{4}{3}Leftrightarrow S=frac{32sqrt{2}}{9}$

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