Questão 3

FUVEST 2008

Matemática

(FUVEST - 2008) Um polinômio de grau 3 possui três raízes reais que, colocadas em ordem crescente, formam uma progressão aritmética em que a soma dos termos é igual a $frac{9}{5}$ . A diferença entre o quadrado da maior raiz e o quadrado da menor raiz é $frac{24}{5}$ . Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do polinômio é 5, determine

a) a progressão aritmética.

b) o coeficiente do termo de grau 1 desse polinômio.

Gabarito:

Resolução:

Sendo $a-r$ , e $a+r$ três raízes em progressão aritmética com razão $r> 0$ , teremos de acordo o enunciado que:

$left{egin{matrix} a-r+a+a+r=frac{9}{5}\ (a+r)^{2} -(a-r)^{2}=frac{24}{5} end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} a=frac{3}{5}\ r=2 end{matrix} ight.$

Portanto, a progressão aritmética será:

$-frac{7}{5},frac{3}{5}$ e $frac{13}{5}$

Considerando $P(x)=a_{0}x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}$ com $a_{0}=5$ , das relações de Girard:

$frac{-7}{5}frac{3}{5}+frac{-7}{5}frac{13}{5}+frac{3}{5}frac{13}{5}=frac{a_{2}}{5}$

$a_{2}=-frac{73}{5}$

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