Questão 5

FUVEST 2008

Matemática

(FUVEST - 2008) A medida x, em radianos, de um ângulo satisfaz $frac{pi}{2}<x<pi$ e verifica a equação sen x + sen 2x + sen 3x = 0.

Assim,

a) determine x.

b) calcule cos x + cos 2x + cos 3x .

Gabarito:

Resolução:

Se $frac{pi}{2}<x<pi$ satisfaz a equação $senx+sen(2x)+sen(3x)=0$ , teremos:

$a) senx+sen(2x)+sen(3x)=0Leftrightarrow$ $sen(2x)+2.sen(frac{3x+x}{2}).cos(frac{3x-x}{2})=0Leftrightarrow sen(2x)+2.sen(2x).cox=0$

$sen(2x).[1+2.cosx]=0Leftrightarrow sen(2x)=0$ (impossível) ou $cosx=-frac{1}{2}Leftrightarrow x=frac{2pi }{3}$

$b)cosx+cos(2x)+cos(3x)=cos(2x)+2.cos(frac{3x+x}{2}).cos(frac{3x-x}{2})$

$=cos(2x)+2.cos(2x).cosx=cos(2x).[1+2cosx]$

Para $x=frac{2pi }{3}$ , resulta:

$cos(frac{4pi }{3}).[1+2cosfrac{2pi }{3}]=(-frac{1}{2})[1+2(-frac{1}{2})]=(-frac{1}{2}.[1-1])=0$

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