Questão 9

FUVEST 2008

Matemática

(FUVEST - 2008) A figura na página de respostas representa o número $w=frac{-1+isqrt{3}}{2}$ no plano complexo, sendo $i=sqrt{-1}$ a unidade imaginária. Nessas condições,

a) determine as partes real e imaginária de $frac{1}{w}$ e de $w^3$ .

b) represente $frac{1}{w}$ e $w^3$ na figura ao lado.

c) determine as raízes complexas da equação z³-1=0 .

Gabarito:

Resolução:

Considerando $omega =frac{-1+isqrt{3}}{2},$ então:

$omega =frac{-1+isqrt{3}}{2}=-frac{1}{2}+ifrac{sqrt{3}}{2}=cos120^{circ}+i.sen120^{circ}$ , assim:

$a)frac{1}{omega }=frac{cos0^{circ}+isen0^{circ}}{cos120^{circ}+i.sen120^{circ}}$ $={cos240^{circ}+i.sen240^{circ}}=-frac{1}{2}-ifrac{sqrt{3}}{2}$

$omega ^{3}=cos(3.120^{circ})+i.sen360^{circ}=1$

$b)$

$c)$

$z^{3}-1=0Leftrightarrow z^{3}=1=cos0^{circ}+isen0^{circ}$

As raízes da equação são as raízes cúbicas de 1 e portanto:

$z_{1}=1.(cos0^{circ}+i.sen0^{circ})=1=w^{3}$

$z_{3}=1.(cos240^{circ}+i.sen240^{circ})=frac{-1-isqrt{3}}{2}=frac{1}{omega }$

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