Questão 79

FUVEST 2009

Matemática

(FUVEST - 2009 - 1 FASE) O ângulo $heta$ formado por dois planos $alpha$ e $eta$ é tal que $an heta = frac{sqrt{5}}{5}$ . O ponto P pertence a $alpha$ e a distância de P a $eta$ vale 1. Então, a distância de P à reta intersecção de $alpha$ e $eta$ é igual a

$sqrt{3}$

$sqrt{5}$

$sqrt{6}$

$sqrt{7}$

$sqrt{8}$

Gabarito:

$sqrt{6}$

Resolução:

Veja a figura a seguir:

É fácil ver que o triângulo OPQ é um triângulo retângulo dado que PQ é a distância do ponto P em $alpha$ ao plano $eta$ .

Daí, é só fazer:

$tgleft( heta ight )=frac{PQ}{OQ}=frac{sqrt{5}}{5}Rightarrow OQ=frac{5}{sqrt{5}}cdot PQ=frac{5sqrt{5}}{5}=sqrt{5}$

Agora é só fazer Pitágoras nesse triângulo para obtermos OP:

$OP^2=OQ^2+PQ^2=left(sqrt{5} ight )^2+1=6Rightarrow OP=sqrt{6}$

A resposta é Letra C.

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