Questão 1

FUVEST 2009

Matemática

(FUVEST - 2009 - 2 fase - Questão 1)

Na figura ao lado, a reta r tem equação $y=2sqrt{2}x+1$ no plano cartesiano Oxy. Além disso, os pontos B₀, B₁, B₂, B₃ estão na reta r, sendo B₀=(0,1) . Os pontos A₀, A₁, A₂, A₃ estão no eixo Ox, com A₀ = O = (0,0) . O ponto D_i pertence ao segmento A_iB_i , para $1leq ileq 3$ . Os segmentos A₁B₁ , A₂B₂ , A₃B₃ são paralelos ao eixo Oy, os segmentos B₀D₁ , B₁D₂ , B₂D₃ são paralelos ao eixo Ox, e a distância entre B_i e B_i+1 é igual a 9, para $0leq ileq 2$ .

Nessas condições:

a) Determine as abscissas de A₁, A₂, A₃.

b) Sendo R_i o retângulo de base A_i A_{i +1} e altura , A_{i +1} D_{i +1} para $0leq ileq 2$ , calcule a soma das áreas dos retângulos R₀ , R₁ e R₂ .

Gabarito:

Resolução:

a) Se a reta (r) tem equação $y=2sqrt{2}x+1$ , logo seu coeficiente angular será: $m=tgTheta =2sqrt{2}$

Considerando o triângulo retângulo $B_{0}D_{1}B_{1}$ , temos:

$tgTheta =2sqrt{2}=frac{B_{1}D_{1}}{B_{0}D_{1}}$

${B_{0}D_{1}=9$

${B_{1}D_{1}^{2}+{B_{0}D_{1}^{2}={B_{0}B_{1}^{2}$

Logo, ${B_{1}D_{1}=6sqrt{2}: e:$ ${B_{0}D_{1}=3$

A partir do enunciado sabemos que ${B_{0}D_{1}={B_{1}D_{2}={B_{2}D_{3}=OA_{1}=A_{1}A_{2}=3$ , uma vez que os triângulos $B_{0}D_{1}B_{1},B_{1}D_{2}B_{2}: e: B_{2}D_{3}B_{3}$ são congruentes, conclui-se que as abcissas de $A_{1},A_{2}$ e $A_{3}$ são 3,6 e 9 respectivamente.

Considerando $OB_{0}=1$ , $A_{1}B_{1}=1+6sqrt{2} : e: A_{2}B_{2}=1+12sqrt{2}$ , a soma das áreas dos retângulos $R_{0},R_{1}$ e $R_{2}$ resultam em:

$R_{0}+R_{1}+R_{2}=3.(1+1+6sqrt{2}+1+12sqrt{2})=3(3+18sqrt{2})=9+54sqrt{2}$

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