Questão 2

FUVEST 2009

Matemática

(FUVEST - 2009 - 2 fase - Questão 2)

Na figura, estão representadas a circunferência C, de centro O e raio 2, e os pontos A, B, P e Q , de tal modo que:

1. O ponto O pertence ao segmento $overline{PQ}$ .

2. OP=1, OQ= $sqrt{2}$ .

3. A e B são pontos da circunferência, $overline{AP}perpoverline{ PQ}$ e $overline{BQ}perpoverline{ PQ}$

Assim sendo, determine:

a) A área do triângulo APO .

b) Os comprimentos dos arcos determinados por A e B em C .

c) A área da região hachurada.

Gabarito:

Resolução:

Por Pitágoras no triângulo retângulo APO, temos:

$2^{2}=(AP)^{2}+1^{2}Rightarrow AP=sqrt{3}$

Portanto, a área do triângulo $APO$ é:

$S_{APO}=frac{sqrt{3}.1}{2}=frac{sqrt{3}}{2}$

$1^{circ})$ Utilizando Teorema de Pitágoras no triângulo $BQO$ , temos:

$2^{2}=(sqrt{2})^{2}+(BQ)^{2}Rightarrow BQ=sqrt{2}$ e portanto $Bwidehat{O}Q=45^{circ},$ pois $BQ=OQ=sqrt{2}$

$2^{circ})$ No triângulo $APO,$ temos:

$tgAwidehat{O}P=frac{sqrt{3}}{1}Rightarrow Awidehat{O}P=60^{circ}$ e portanto $Awidehat{O}B+60^{circ}+45^{circ}=180^{circ}Rightarrow Awidehat{O}B=75^{circ}$

$3^{circ})$

Sendo $C_{1}$ e $C_{2}$ , respectivamente as medidas do menor e maior arco determinado por A e B em C, teremos:

$C_{1}=frac{75^{circ}}{360^{circ}}.2pi .2=frac{5pi }{6}$ e $C_{2}=2pi .2-frac{5pi }{6}=frac{19pi }{6}$

A área S da região da hachurada é:

$S=S_{APO}+S_{BQO}+S_{setor AOB}= frac{sqrt{3}.1}{2}+frac{sqrt{2}sqrt{2}}{2}+frac{frac{5pi }{6}.2}{2}=frac{sqrt{3}}{2}+1+frac{5pi }{6}=frac{3sqrt{3}+6+5pi }{6}$

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