Questão 3

FUVEST 2009

Matemática

(FUVEST - 2009 - 2 fase - Questão 3)

Considere o sistema de equações nas variáveis x e y, dado por

$left{egin{matrix} 4x+2m^2y=0 \ 2mx+(2m-1)y=0 end{matrix} ight.$

Desse modo:

a) Resolva o sistema para m=1.

b) Determine todos os valores de m para os quais o sistema possui infinitas soluções.

c) Determine todos os valores de m para os quais o sistema admite uma solução da forma (x, y ) = (α,1) , sendo α um número irracional.

Gabarito:

Resolução:

Para $m=1$ o sistema será:

$left{egin{matrix} 4x+2.1^{2}.y=0\ 2.1.x+(2.1.-1).y=0 end{matrix} ight.$ $Leftrightarrow left{egin{matrix} 4x+2y=0\ 2x+y=0 end{matrix} ight.$ $Leftrightarrow 2x+y=0$

As soluções serão do tipo $(k;-2k), forall k$

O sistema apresentará infinitas soluções somente se, e somente se:

$D=egin{vmatrix} 4 & 2m^{2}\ 2m & (2m-1) end{vmatrix}=0Leftrightarrow 4.(2m-1)-4m^{3}=0Leftrightarrow 4m^{3}-8m+4=0Leftrightarrow m^{3}-2m+1=0Leftrightarrow (m-1)(m^{2}+m-1)=0$

$m=1$ , $m=frac{-1+sqrt{5}}{2}$ ou $m=frac{-1-sqrt{5}}{2}$

Para uma solução do sistema da forma $(x,y)=(alpha ;1)$ do sistema homogêneo, sendo $alpha$ número irracional, o sistema deverá ser possível e indeterminado. Os possíveis valores de m para que isso ocorra foram obtidos no item b.

Para $m=1$ a solução não é da forma $(alpha ;1)$ com $alpha$ irracional, desde que $4alpha +2.(frac{-1pm sqrt{5}}{2}).1=0Leftrightarrow alpha =frac{-1}{2}(frac{1pm 2sqrt{5}+5}{4})Leftrightarrow alpha =-frac{3pm sqrt{5}}{4}$ que é irracional.

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