Questão 6

FUVEST 2009

Matemática

(FUVEST - 2009 - 2 fase - Questão 6)

Um apreciador deseja adquirir, para sua adega, 10 garrafas de vinho de um lote constituído por 4 garrafas da Espanha, 5 garrafas da Itália e 6 garrafas da França, todas de diferentes marcas.

a) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas desse lote?

b) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas do lote, sendo 2 garrafas da Espanha, 4 da Itália e 4 da França?

c) Qual é a probabilidade de que, escolhidas ao acaso, 10 garrafas do lote, haja exatamente 4 garrafas da Itália e, pelo menos, uma garrafa de cada um dos outros dois países?

Gabarito:

Resolução:

4 garrafas de vinho espanhol, 5 de vinho italiano e 6 de vinho francês formará o lote. Portanto:

a) Para escolhermos 10 garrafas deste lote de 15 garrafas o número de maneiras será:

$C_{15,10}=frac{15!}{5!10!}=frac{15.14.13.12.11}{5.4.3.2.1}=3003$

b) A maneira de escolher 2 da Espanha, 4 da Itália e 4 da França é:

$C_{4,2}.C_{5,4}.C_{6,4}=6.5.15=450$

O total de maneiras de escolher exatamente 4 da Itália e ao menos 1 de cada uma dos outros países é:

$C_{5,4}(C_{10,6}-1)=5.(210-1)=1045$

A probabilidade pedida é, pois:

$frac{1045}{3003}=frac{95}{273}approx 34,8%$

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