Questão 7

FUVEST 2009

Matemática

(FUVEST - 2009 - 2 fase - Questão 7)

No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem centro no ponto A (-5,1) e é tangente à reta t de equação 4x - 3y - 2 = 0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto de intersecção da reta t com o eixo Ox.

Assim:

a) Determine as coordenadas do ponto P.

b) Escreva uma equação para a circunferência C .

c) Calcule a área do triângulo APQ.

Gabarito:

Resolução:

$a)left.egin{matrix} m_{t}=frac{4}{3}\ tperp AP end{matrix} ight}Rightarrow m_{AP}=frac{-3}{4}$

A equação da reta $AP$ é dada por:

$y-1=frac{-3}{4}(x+5)Leftrightarrow 3x+4y+11=0$

O ponto P é a intersecção das retas (t) e AP, logo:

$left{egin{matrix} 4x-3y-2=0\ 3x+4y+11=0 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=-1\ y=-2 end{matrix} ight.Rightarrow P(-1;-2))$

b) O raio da circunferência é a distância do ponto A à reta (t), então:

$r=frac{mid-20-4-2 mid }{sqrt{16+9}}=r=5$

A equação da circunferência é:

$(x+5)^{2}+(y-1)^{2}=25$

O ponto Q é a intersecção do eixo x com a reta t:

$left{egin{matrix} 4x-3y-2=0\ y=0 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{1}{2}\ y=0 end{matrix} ight.Rightarrow Q(frac{1}{2};0)$

A área do triângulo $A(-5;1),P(-1;-2)$ e $Q(1/2;0)$ é:

$=frac{frac{25}{2}}{2}=frac{25}{4}=6,25(ua)$

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