Questão 8

FUVEST 2009

Matemática

(FUVEST - 2009 - 2 fase - Questão 8)

Para cada número real m, considere a função quadrática f(x) = x²+mx+2.

Nessas condições:

a) Determine, em função de m, as coordenadas do vértice da parábola de equação y = f(x).

b) Determine os valores de $m in mathbb{R}$ para os quais a imagem de f contém o conjunto ${y in mathbb{R}:ygeq 1}$ .

c) Determine o valor de m para o qual a imagem de f é igual ao conjunto ${y in mathbb{R}:ygeq 1}$ e, além disso, f é crescente no conjunto ${x in mathbb{R}:xgeq 0}$ .

d) Encontre, para a função determinada pelo valor de m do item c) e para cada $ygeq 2$ , o único valor de $xgeq 0$ tal que f(x) = y .

Gabarito:

Resolução:

Considerando $f(x)=x^{2}+mx+2$ , logo:

$1) x_{V}=frac{-b}{2a}=frac{-m}{2}$

$y_{V}=frac{-Delta }{4a}=-frac{m^{2}-8}{4.1}=frac{8-m^{2}}{4}$

$2) Im(f)= left{egin{matrix} yepsilon Re /ygeq frac{8-m^{2}}{4} end{matrix} ight.left.egin{matrix} end{matrix} ight}$

$3) Im(f)supset egin{Bmatrix} yepsilon Re /ygeq 1 end{Bmatrix}Rightarrow frac{8-m^{2}}{4}leq 1Leftrightarrow -m^{2}+4leq 0$ $Leftrightarrow mleq 2: ou: mgeq 2$

$4) Im(f)supset egin{Bmatrix} yepsilon Re /ygeq 1 end{Bmatrix}Rightarrow frac{8-m^{2}}{4}=1Leftrightarrow m=-2: ou: m=2$

$5) f$ é crescente em $egin{Bmatrix} xepsilon Re /xgeq 0 end{Bmatrix}Leftrightarrow -frac{m}{2}Leftrightarrow mgeq 0$

$6)$ de $4)$ e $5)$ tem-se $m=2Rightarrow f(x)=x^{2}+2x+2$

Para $ygeq 2$ e $xgeq 0$ tem-se $f(x)=yLeftrightarrow x^{2}+2x+2=yLeftrightarrow x^{2}+2x+2-y=0$

$Rightarrow x=frac{-2+sqrt{2^{2}-4.(2-y)}}{2.1}Rightarrow x=sqrt{y-1}-1$

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