Questão 77

FUVEST 2010

Matemática

(FUVEST - 2010) A função tem como gráfico uma parábola e satisfaz f(x + 1) – f(x) = 6x - 2, para todo número real x. Então, o menor valor de f(x) ocorre quando x é igual a

Gabarito:

Resolução:

Como o gráfico de f é uma parábola, temos que $f(x)$ é uma função do segundo grau em x:

$f(x) = ax^2 + bx + c$

Substituindo na expressão dada no enunciado, temos:

$f(x+1) - f(x) = 6x - 2$ $ightarrow$

$ightarrow$ $a(x+1)^2 + b(x+1) + c - (ax^2 + bx + c) = 6x - 2$ $ightarrow$

$ightarrow$ $ax^2 + 2ax + a + bx + b + c - ax^2 - bx - c = 6x - 2$ $ightarrow$

$ightarrow$ $2ax + a + b = 6x - 2$

Igualando os termos de mesmo grau, temos:

$2ax =6x$ , então $a=3$

$a + b = -2$ , então $b = -5$

Como $a > 0$ , então a função do segundo grau admite um valor mínimo e este valor mínimo ocorre no vértice da parábola, quando $x = -frac{b}{2a}$

Logo, o x para que $f(x)$ seja mínimo é $x = -frac{(-5)}{2}*3 = frac{5}{6}$ .

Alternativa correta é Letra C.

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