Questão 6769

FUVEST 2010

Matemática

(Fuvest 2010 - adaptada) Qual é a solução (x, y), y > 1, para o sistema de equações

$egin{cases} log_y{(9x-35)} = 6 \ log_{3y}{(27x-81)} = 3 end{cases}$

A

(13; 4)

B

(10; 3)

C

(12; 25)

D

(11; 2)

Gabarito:

(11; 2)

Resolução:

1) $mathrm{Isolar}:x:mathrm{de}:log _yleft(9x-35 ight)=6$ :

1.1) $mathrm{Aplicar:as:propriedades:dos:logaritmos}:quad :a=log _bleft(b^a ight)$

$log _yleft(9x-35 ight)=log _yleft(y^6 ight)$

1.2) $\ mathrm{Quando:os:logaritmos:possuem:a:mesma:base::}\ log _bleft(fleft(x ight) ight)=log _bleft(gleft(x ight) ight)quad Rightarrow quad fleft(x ight)=gleft(x ight)$

$9x-35=y^6 ightarrow x=frac{y^6+35}{9}$ para y>0

2) $mathrm{Inserir:as:soluc ilde{o}es:}x=frac{y^6+35}{9}mathrm{:em:}log _{3y}left(27x-81 ight)=3$

$log _{3y}left(27cdot frac{y^6+35}{9}-81 ight)=3$

3) $mathrm{Aplicar:as:propriedades:dos:logaritmos}:quad log _aleft(b ight)=frac{ln left(b ight)}{ln left(a ight)}$

$frac{ln left(27cdot frac{y^6+35}{9}-81 ight)}{ln left(3y ight)}=3$

$ln left(3left(y^6+35 ight)-81 ight)=3ln left(3y ight)$

4) $mathrm{Aplicar:as:propriedades:dos:logaritmos}:quad :alog _cleft(b ight)=log _cleft(b^a ight)$

$ln left(3left(y^6+35 ight)-81 ight)=ln left(left(3y ight)^3 ight)$

5) $mathrm{Quando:os:logaritmos:possuem:a:mesma:base::}log _bleft(fleft(x ight) ight)=log _bleft(gleft(x ight) ight)quad Rightarrow quad fleft(x ight)=gleft(x ight)$

$3left(y^6+35 ight)-81=left(3y ight)^3$

$3left(y^6+35 ight)-81=27y^3$

$3y^6-27y^3+24=0$

6) $mathrm{Reescrever:a:equac ilde{a}o:com:}u=y^3mathrm{:e:}u^2=y^6$

$3u^2-27u+24=0$

$u_{1,:2}=frac{-left(-27 ight)pm sqrt{left(-27 ight)^2-4cdot :3cdot :24}}{2cdot :3}$

$u_1=8,:u_2=1$

7) $mathrm{Sendo:}u=y^3mathrm{,:resolver:as:seguintes:equac ilde{o}es:para:encontrar:}y$ :

$y_2=2,:y_2=1$

8) $mathrm{Inserir:as:soluc ilde{o}es:}y=2,:y=1mathrm{:em:}log _yleft(9x-35 ight)=6$ :

$mathrm{Para:}log _yleft(9x-35 ight)=6mathrm{,:substituir:}ymathrm{:com:}2:quad x=11$

$mathrm{Para:}log _yleft(9x-35 ight)=6mathrm{,:substituir:}ymathrm{:com:}1:quad mathrm{Sem:soluc ilde{a}o:para}:xin mathbb{R}$

$egin{pmatrix}y=2,:&x=11end{pmatrix}$

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