Questão 47431

FUVEST 2011

Física

(FUVEST - 2011 - 2 fase)

Os modelos permitem-nos fazer previsões sobre situações reais, sendo, em geral, simplificações, válidas em certas condições, de questões complexas. Por exemplo, num jogo de futebol, a trajetória da bola, após o chute, e o débito cardíaco dos jogadores podem ser descritos por modelos.

Trajetória da bola: quando se despreza a resistência do ar, a trajetória da bola chutada, sob a ação da gravidade (g=10 m/s²), é dada por $h=d tg heta-5.(d^{2}/v^{2}_{0}).(1+tg^{2} heta)$ em que v₀é a velocidade escalar inicial (em m/s), $heta$ é o ângulo de elevação (em radianos) e h é a altura (em m) da bola a uma distância d (em m), do local do chute, conforme figura abaixo.

Débito cardíaco (DC): está relacionado ao volume sistólico VS (volume de sangue bombeado a cada batimento) e à frequência cardíaca FC pela fórmula DC = VS x FC.

Utilize esses modelos para responder às seguintes questões:

a) Durante uma partida, um jogador de futebol quer fazer um passe para um companheiro a 32 m de distância. Seu chute produz uma velocidade inicial na bola de 72 km/h. Calcule os valores de $tg heta$ necessários para que o passe caia exatamente nos pés do companheiro.

b) Dois jogadores, A e B, correndo moderadamente pelo campo, têm frequência cardíaca de 120 batimentos por minuto. O jogador A tem o volume sistólico igual a 4/5 do volume sistólico do jogador B. Os dois passam a correr mais rapidamente. A frequência cardíaca do jogador B eleva-se para 150 batimentos por minuto. Para quanto subirá a frequência cardíaca do jogador A se a variação no débito cardíaco (DC_final-DC_inicial) de ambos for a mesma?

Gabarito:

Resolução:

Nessa questão precisamos aplicar as equações dadas no enunciado:

a) A altura que queremos que a bola esteja é 0, uma vez que queremos que ela chegue nos pés do companheiro, sendo assim:

$0=d tg heta-5.(d^{2}/v^{2}_{0}).(1+tg^{2} heta)$

Substituindo os valores que conhecemos e fazendo a conversão de km/h para m/s:

$0=32m cdot tg heta-5cdot (32^{2}/20^{2}).(1+tg^{2} heta)$

Realizando as contas:

$tg heta-0,4.(1+tg^{2} heta)=0$

Podemos resolver como uma equação do segundo grau agora:

$-0,4tg^2 heta+tg heta-0,4=0$

$Delta=1-4(-0,4cdot-0,4) ightarrow 1-0,64=0,36$

$frac{-1pm0,6}{-0,8} ightarrow x_1=frac{-0,4}{-0,8}=frac{1}{2} ightarrow x_2=frac{-1,6}{-0,8}=2$

Sendo assim:
$tg heta=2 ou frac{1}{2}$

b) Temos as seguintes informações:

$VS_A=frac{4}{5}VS_B$

$FC_{0_A}=FC_{0_B}=120bpm$

$FC_{f_B}=150bpm$

Temos a variação do débito cardíaco é igual:

$(DC_{f_A}-DC_{0_A})=(DC_{f_B}-DC_{0_B})$
$(VS_Acdot FC_{f_A}-VS_Acdot FC_{0_A})=(VS_Bcdot FC_{f_B}-VS_Bcdot FC_{0_B})$

Substituindo com os dados que temos e buscando isolar a frequência final de A:

$\frac{4}{5}VS_Bcdot FC_{f_A}-frac{4}{5}VS_Bcdot FC_{0_B}=VS_Bcdot FC_{f_B}-VS_Bcdot FC_{0_B}\\ frac{4}{5}VS_B(FC_{f_A}-FC_{0_B})=VS_B(FC_{f_B}-FC_{0_B})\\ frac{4}{5}(FC_{f_A}-120)=(150-120)\\ FC_{f_A}-120=37,5 ightarrow FC_{f_A}=157,5 bpm$

Essa é frequência final do jogador A

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