Questão 31

FUVEST 2013

Matemática

(FUVEST - 2013) Seja f uma função a valores reais, com domínio D ⊂ , tal que , para todo x $epsilon$ D.

O conjunto que pode ser o domínio D é

Gabarito:

Resolução:

A função logaritmo apenas admite valores positivos no domínio. Com base nisso, faz-se a análise a seguir.

Para que a função seja válida, a primeira condição é:

$x^2-x+1>0$

Vamos determinar as raízes do lado esquerdo da inequação.

$x=frac{-bpm sqrt{b^2-4ac}}{2a}=frac{1pm sqrt{(-1)^2-4cdot1cdot1}}{2}=frac{1pm sqrt{-3}}{2} otin mathbb{R}$

Ou seja, o delta tem valor negativo. Portanto, a função não possui raízes reais, e assim, a função é sempre positiva ou sempre negativa para valores reais de x. Entretanto, o termo em x^2 é positivo. Logo, a função é sempre positiva.

Deste modo, a primeira condição é verdadeira para todo x real.

A segunda condição é:

$log_{frac{1}{3}}(x^2-x+1)>0Rightarrow x^2-x+1<1Rightarrow x^2-x<0 Rightarrow x(x-1)<0$

A primeira implicação ocorre porque a base é menor que 1.

Para a desigualdade ser válida, deve-se então ter o x entre as raízes do lado esquerdo da inequação. Ou seja,

$0<x<1$

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