Questão 1

FUVEST 2014

Matemática

(Fuvest 2014 - 2ª fase)

Dados $m$ e ݊ $n$ inteiros, considere a função ݂ $f$ definida por

$f(x) = 2 - frac{m}{x+ n},$

para $x eq -n.$

a) No caso em que $m = n = 2$ , mostre que a igualdade $f (sqrt 2) = sqrt 2$ se verifica.

b) No caso em que $m = n = 2$ , ache as interseções do gráfico de $f$ com os eixos coordenados.

c) No caso em que $m = n = 2$ , esboce a parte do gráfico de $f$ em que $x > -2$ , levando em conta as informações obtidas nos itens a) e b). Utilize o par de eixos dado na página de de respostas (imagem abaixo).

d) Existe um par de inteiros $(m, n) eq (2,2)$ tal que a condição $f(sqrt 2) = sqrt 2$ continue sendo satisfeita?

Gabarito:

Resolução:

Sendo $f(x)=2-frac{m}{x+n}$ , com x diferente de -n e m=n e igual à, então:

$f(x)=2-frac{2}{x+2}Leftrightarrow f(x)=frac{2x+2}{x+2}$

a) $f(sqrt{2})=frac{2sqrt{2}+2}{sqrt{2}+2}.frac{sqrt{2}-2}{sqrt{2}-2}=frac{4-4sqrt{2}+2sqrt{2}-4}{-2}Leftrightarrow f(sqrt{2})=frac{-2sqrt{2}}{-2}Leftrightarrow f(sqrt{2})=sqrt{2}$

b) Sendo A(x,0) a intersecção de f com o eixo x, logo:

$frac{2x+2}{x+2}=0Leftrightarrow 2x+2=0Leftrightarrow x=-1Rightarrow A(-1,0)$

Caso $B(0,1)$ a intersecção com o eixo y, teremos:

$f(0)=y=frac{2.0+2}{0+2}=1Rightarrow B(0,1)$

c) O gráfico de f, contém os pontos $(sqrt{2},sqrt{2}),(-1,0)$ e $(0,1)$ .

Quando x tender a-2, sempre com valores maiores que -2, f(x) tende a - infinito.

Caso c tender a + infinito, $frac{2}{x+2}$ tende a zero e f(x) tende a 2. Logo teremos a seguinte representação gráfica:

d) $f(sqrt{2})=sqrt{2} ightarrow 2-frac{m}{sqrt{2}+n}=sqrt{2}Leftrightarrow 2sqrt{2}+(2n-m)=nsqrt{2}+2$

n=2 e 2n-m=2

m=n=2

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