Questão 11

FUVEST 2014

Matemática

(FUVEST 2014 - 2ª FASE) Um corpo de massa M desliza sem atrito, sujeito a uma força gravitacional vertical uniforme, sobre um "escorregador logarítmico": suas coordenadas (x, y) no plano cartesiano, que representam distâncias medidas em metros, pertencem ao gráfico da função $f(x) = log_{frac{1}{2}}x +4$ .

O corpo começa sua trajetória, em repouso, no ponto A, de abscissa x =1, e atinge o chão no ponto B, de ordenada y = 0, conforme figura ao lado. Não levando em conta as dimensões do corpo e adotando 10 m/s² como o valor da aceleração da gravidade,

a) encontre a abscissa do ponto B;

b) escreva uma expressão para a energia mecânica do corpo em termos de sua massa M, de sua altura y e de sua velocidade escalar v;

c) obtenha a velocidade escalar v como função da abscissa do ponto ocupado pelo corpo;

d) encontre a abscissa do ponto a partir do qual b é maior do que $sqrt{60} m/s$ .

Gabarito:

Resolução:

a) O ponto B é (0,x) tal que $0 = log_{frac{1}{2}}x +4$ .

$log_{frac{1}{2}}x = -4$

Por definição:

$x = (frac{1}{2})^{-4} = 2^4 = 16 m$

b) Adotando o nível y = 0 como a referência pra energia potencial gravitacional nula:

$E_M = E_{pg} + E_k = M(gy + frac{v^2}{2})$

$E_M = M(10y + frac{v^2}{2}) J$

c) Para x = 1 obtemos y = 4, e temos v = 0. Portanto, a energia mecânica total é $E_M = M(10(4)) = 10 M$ .

Pela conservação da energia, este deve ser o mesmo valor para qualquer posição.

E substituindo a função f(x) em y:

$40M = M(10(log_{frac{1}{2}}x + 4) +frac{v^2}{2})$

$40 = (10(log_{frac{1}{2}}x + 4) +frac{v^2}{2})$

$40 = 10log_{frac{1}{2}}x + 40 + frac{v^2}{2}$

$v^2 =20log_{2}x$

$v =sqrt{20log_{2}x} m/s$

d) $sqrt{20log_{2}x} > sqrt{60}$

$log_{2}x > 3$

$x > 8 m$

Questões relacionadas

Questão 38

(FUVEST - 2014) O número real x, que satisfaz 3 < x < 4, tem uma expansão decimal na qual os 999.999 primeiros dígitos à direita da vírgula são iguais a...

Ver questão

Questão 43

(Fuvest 2014) Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices A = (0, 0), B = (3, 4) e C = (8, 0). O retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eixo das abscissa...

Ver questão

Questão 46

(Fuvest 2014) Esta foto é do relógio solar localizado no campus do Butantã, da USP. A linha inclinada (tracejada na foto), cuja projeção ao chão pelos raios solares indica a hora, é paralel...

Ver questão

Questão 45

(FUVEST - 2014) Três das arestas de um cubo, com um vértice em comum, são também arestas de um tetraedro. A razão entre o volume do tetraedro e o volume do cubo &eacu...

Ver questão