Questão 51

FUVEST 2015

Matemática

(FUVEST 2015) Sabe-se que existem números reais A e x₀, sendo A > 0, tais que senx + 2 cos x = A cos (x - x₀) para todo x real. O valor de A é igual a:

$sqrt{2}$

$sqrt{3}$

$sqrt{5}$

$2 sqrt{2}$

$2sqrt{3}$

Gabarito:

$sqrt{5}$

Resolução:

1) Como $cos(x-x_o) = cos(x) cdot cos (x_o) + sin(x) cdot sin(x_o)$ , temos que:

$sin(x) + 2 cdot cos (x)= A[cos(x) cdot cos (x_o) + sin(x) cdot sin(x_o)]$

2) Como é válido para qualquer x, considerando $x=pi$ :

$sin(pi) + 2 cdot cos (pi)= A[cos(pi) cdot cos (x_o) + sin(pi) cdot sin(x_o)]$

$-2= -Acos (x_o)$

$cos (x_o) = frac{2}{A}$

3) Como é válido para qualquer x, considerando $x=frac{pi}{2}$ :

$sin(frac{pi}{2}) + 2 cdot cos (frac{pi}{2})= A[cos(frac{pi}{2}) cdot cos (x_o) + sin(frac{pi}{2}) cdot sin(x_o)]$

$1= A sin(x_o)$

$sin(x_o) = frac{1}{A}$

4) Como $sin^2(x)+cos^2(x)=1$

$left ( frac{1}{A} ight )+left ( frac{2}{A} ight )=1$

$left ( frac{1}{A} ight )^2+left ( frac{2}{A} ight )^2=1$

$frac{1}{A^2}+frac{4}{A^2}=1$

$5=A^2$

$oxed{A=sqrt{5}}$

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