Questão 2

FUVEST 2015

Matemática

(FUVEST - 2015 - 2 FASE)

Resolva as inequações:

a) x³ — x² — 6x > 0;

b) log₂(x³-x²-6x) $leq$ 2.

Gabarito:

Resolução:

a) Observemos as raízes da equação proposta:

$x^{3} - x^{2} -6x = 0$

$x(x^{2}-x-6) = 0$

Resolvendo a equação entre parênteses por Bháskara, obtemos que x = -2 ou x = 3.

Assim, as raízes possíveis serão: x = 0, x = -2 ou x = 3.

Agora, testemos valores nesses intervalos para vermos o comportamento da função.

X < - 2:

$f(-4) = (-4)^{3} -(-4)^{2} - 6 cdot (-4)$

$f(-4) = -64 - 16 +24 <0$

Portanto esse intervalo não serve.

-2 < x < 0:

$f(-1) = (-1)^{3} - (-1)^{2} - 6 cdot (-1) = -1 -1 + 6 > 0$

Portanto, esse intervalo serve.

0 < x < 3

$f(1) = (1)^{3} - 1^{2} - 6 cdot 1 < 0$

Portanto, esse intervalo não serve.

x > 3

$f(4) = 4^{3} - 4^{2} - 6 cdot 4 = 64 - 16 -24 > 0$

Esse intervalo serve.

Assim, o intervalo que serve de solução para essa equação é:

$S = { x in mathbb{R} | -2 < x < 0 ou x>3 }$

b)

I)

$log _{2}(x^{3}-x^{2}-6x) leq 2$

$log _{2}(x^{3}-x^{2}-6x) leq log_{2}4$

$x^{3} -x^{2} -6x - 4 leq 0 (I)$

II)

-1 é raiz dessa equação, pela regra da soma dos coeficientes.

Aplicando Briot Ruffini:

$(x+1)(x^{2}-2x - 4) = 0$

$x+1 = 0 ou x^{2} - 2x - 4 = 0$

$x = -1 ou x = 1 pm sqrt{5}$

Iremos fazer a mesma análise feita anteriormente para todos os intervalos entre esses valores.

$Para x<1 - sqrt{5}$

$f(-3) = (-3)^{3} -(-3)^{2} - 6 cdot (-3) - 4 < 0$

Esse conjunto serve!

$Para 1-sqrt{5} < x < -1$

$f(-frac{1}{2}) = (-frac{1}{2})^{3} - (frac{1}{2})^{2} - 6 cdot (-frac{1}{2}) - 4 > 0$

Esse conjunto não serve.

$Para -1 < x < 1+sqrt{5}$

$f(2) = 2^{3} - (2)^{2} - 6 cdot 2 - 4 < 0$

Esse conjunto serve!

$Para x > 1 + sqrt{5}$

$f(4) = 4^{3} - 4^{2} - 6 cdot 4 - 4 > 0$

Esse conjunto não serve!

O conjunto solução é dado por:

$S = {x in mathbb{R} | -2 < x leq 1 -sqrt{5} ou -1 leq x < 0 ou 3 < x leq 1+sqrt{5}$

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