Questão 3

FUVEST 2015

Matemática

(FUVEST - 2015 - 2 FASE)

No cubo ABCDEFGH, representado na figura, na página de respostas, cada aresta tem medida 1. Seja M um ponto na semirreta de origem A que passa por E. Denote por $heta$ o ângulo $widehat{BMH}$ e por x a medida do segmento $overline{AM}$ .

a) Exprima cos $heta$ em função de x

b) Para que valores de x o ângulo $heta$ é obtuso?

c) Mostre que, se x = 4, então $heta$ mede menos do que 45º.

Gabarito:

Resolução:

Aplicando Pitágoras em AMB e AMH:

$MB ^{2} = AM^{2} + AB ^{2}$

$oxed {MB = sqrt{x^{2}+1}}$

$MH^{2} = ME^{2} + EH ^{2}$

$MH^{2} = (x-1)^{2} + 1^{2}$

$oxed{MH = sqrt{x^{2}-2x+1}}$

Também temos que $BH = sqrt{3}$ , uma vez que é diagonal do cubo.

No triângulo BMH podemos aplicar a lei dos cossenos:

$BH^{2} = BM ^{2} + MH ^{2} - 2 cdot BM cdot MH cdot cos heta$

$(sqrt{3})^{2} = x^{2} +1 + x^{2} -2x +2 - 2 cdot sqrt{x^{2}+1} cdot sqrt{x^{2}-2x+2} cdot cos heta$

$sqrt{x^{2}+1} cdot sqrt{x^{2}-2x+2} cdot cos heta = x^{2} - x$

$cos heta = frac{x^{2}-x}{sqrt{x^{2}+1}cdot sqrt{x^{2}-2x+2}}$

b) Se o ângulo é obtuso:

$cos heta = frac{x^{2}-x}{sqrt{x^{2}+1}cdot sqrt{x^{2}-2x+2}} < 0$

Isso so irá acontecer se $0 < x < 1$ , pelo estudo do sinal da função de $x^{2} - x$ .

Observe que, para $0 < x < 1$ , o ponto M pertence ao segmento AE.

c) Se x= 4:

$cos heta = frac{4^{2}-4}{sqrt{4^{2}+1} cdot sqrt{4^{2}-2 cdot 4 + 2}}$

$= frac{12}{sqrt{17}cdot sqrt{10}}$

$cos heta = frac{12}{sqrt{170}}$

$=sqrt{ frac{1}{2}} = frac{sqrt{2}}{2}$

logo: $heta < 45^{circ}$

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