Questão 5

FUVEST 2015

Matemática

(FUVEST - 2015 - 2 FASE)

A função ݂f está definida da seguinte maneira: para cada inteiro ímpar ݊n,

$f(x) = egin{cases} x - (n-1), se&n-1 leq xleq n \ n+1 - x, se &nleq xleq n+1 end{cases}$

a) Esboce o gráfico de ݂f para $0leq xleq 6$

b) Encontre os valores de x, $0leq xleq 6$ , tais que f(x) = $frac{1}{5}$

Gabarito:

Resolução:

RESOLVENDO A LETRA (A):

Primeiramente vamos identificar para quais valores de $n$ vamos calcular para encontrar o gráfico de $f(x)$ :

Podemos ver que os $x$ está limitado da seguinte forma em $f(x)$ : $n-1 leq x leq n+1$ , isso quer dizer que:

$n-1 =0 Rightarrow n=1$

$n+1 =6 Rightarrow n=5$

Logo, vamos ter que calcular $f(x)$ para todos os $n=1, 3, 5$ .

Então vamos ter que a função vai ter a seguinte propriedade:

$n=1 Rightarrow 0 leq x leq 2$

$n=3 Rightarrow 2 leq x leq 4$

$n=5 Rightarrow 4 leq x leq 6$

Analisando como $f(x)$ vai se comportar em cada um desses intervalos temos:

Onde os termos em azul vão ser iguais a $f(x)$ em cada um dos seus respectivos intervalos.

Calculando os pontos para poder desenhar o gráfico:

$f(0) = 0$

$f(1) = 2-1=1$

$f(2) = 2-2=0$

$f(3) = 3-2=1$

$f(4) = 4-4=0$

$f(5) = 5-4=1$

$f(6) = 6-6=0$

Colocando os pontos no gráfico:

Desenhando o gráfico:

RESOLVENDO A LETRA (B):

Ao olhar para o gráfico desenhado, podemos perceber que $f(x)$ terá 6 soluções para $y=1/2$ nesse intervalo. Ou seja, teremos uma solução para cada "comportamento" que $f(x)$ tem nos intervalos mostrados na 1ª imagem. Encontrando $x$ para $f(x) = 1/5$ :

$f(x) = x Rightarrow 1/5 = x herefore x= frac{1}{5}$

$f(x) = 2-x Rightarrow frac{1}{5}=2-x herefore x=frac{9}{5}$

$f(x) = x-2 Rightarrow frac{1}{5}=x-2 herefore x=frac{11}{5}$

$f(x) = 4-x Rightarrow frac{1}{5}=4-x herefore x=frac{19}{5}$

$f(x) = x-4 Rightarrow frac{1}{5}=x-4 herefore x=frac{21}{5}$

$f(x) = 6-x Rightarrow frac{1}{5}=6-x herefore x=frac{29}{5}$

Portanto o conjunto solução $S$ será:

$S ={ frac{1}{5}, frac{9}{5}, frac{11}{5}, frac{19}{5}, frac{21}{5}, frac{29}{5}}$

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