Questão 8

FUVEST 2015

Matemática

(FUVEST 2015 - 2ª fase) Em uma transformação química, há conservação de massa e dos elementos químicos envolvidos, o que pode ser expresso em termos dos coeficientes e índices nas equações químicas.

a) Escreva um sistema linear que represente as relações entre os coeficientes x, y, z e w na equação química

$x; C_8H_{18}+y; O_2 ightarrow z; CO_2 + w; H_2O$

b) Encontre todas as soluções do sistema em que x, y, z e w são inteiros positivos.

Gabarito:

Resolução:

a) $x; C_8H_{18}+y; O_2 ightarrow z; CO_2 + w; H_2O$

$left{egin{matrix} 8x=z\18x=2w\2y=2z+w end{matrix} ight.$

$egin{vmatrix} 8x=z\18x=2w\2y=2z+w end{vmatrix} Rightarrow egin{vmatrix} 8x=z\18x=2w(:2)\2y=2z+w end{vmatrix}Rightarrow egin{vmatrix} 8x=z\9x=w\2y=2z+w end{vmatrix}$

Substituimos z por 8x pela primeira equação e w por 9x da segunda equação:

$egin{vmatrix} 8x=z\9x=w\2y=2(8x)+9x end{vmatrix}Rightarrow egin{vmatrix} 8x=z\9x=w\2y=16x+9x end{vmatrix}Rightarrow egin{vmatrix} 8x=z\9x=w\2y=25x end{vmatrix}$

Passando 2 para o outro lado na terceira equação:

$egin{vmatrix} 8x=z\9x=w\frac{25x}{2}=y end{vmatrix}$

Para que y seja inteiro e positivo, x deve ser da forma 2α, em que α pertence aos números naturais. Dessa forma as soluções inteiras e positivas do sistema são:

$left{egin{matrix} x=2alpha\z=16alpha\w=18alpha\y=25alpha end{matrix} ight.$

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