Questão 9
FUVEST 2016
(FUVEST - 2016 - 2a FASE)
Uma bola de bilhar, inicialmente em repouso em um ponto P, situado na borda de uma mesa de bilhar com formato circular, recebe uma tacada e se desloca em um movimento retilíneo. A bola atinge a borda no ponto e é refletida elasticamente, sem deslizar. Chame de Q o ponto da borda diametralmente oposto a P e de θ a medida do ângulo .
a) Para qual valor de θ, após a primeira reflexão, a trajetória da bola será paralela ao diâmetro ?
b) Para qual valor de θ, após a primeira reflexão, a trajetória da bola será perpendicular a ?
c) Supondo agora que , encontre uma expressão, em função de θ, para a medida do ângulo agudo formado pela reta que contém P e Q e pela reta que contém a trajetória da bola após a primeira reflexão na borda.
Gabarito:
Resolução:
a)
Esse é o caso que é pedido na alternativa a. Vamos analisar então:
Considerando como O o centro, o triângulo PRO é isóceles, já que seus lados são raios da circunferência. Então o angulo R é igual a também.
O ângulo de inciência deve ser igual ao de reflexão, já que estamos tratando de uma colisão elástica e a bola não desliza.
Podemos usar a propriedade dos ângulos alternos internos para dizer que o ângulo O é igual ao ângulo de reflexão.
Assim, temos um triângulo equilátero, e só pode valer 60°.
b) Utilizando o mesmo raciocínio:
As retas OP e OR são os raios da circunferência. Então novamente, todos os ângulos indicados são iguais.
Como Rp é perpendicular a PQ, A soma dos 3 angulos devem valer 90°.
Então, deve valer 30°
c)
Pelos mesmo motivos das alternativas anteriores, no triangulo existem 3 ângulos de mesmo valor. O único ângulo desconhecido é alpha.
Nesse caso, alpha é dado por:
