Questão 8

FUVEST 2016

Matemática

(FUVEST - 2016 - 1a FASE) No quadrilátero plano ABCD, os ângulos e são retos, AB=AD=1, BC=CD=2 e é uma diagonal.

O cosseno do ângulo vale

Gabarito:

Resolução:

Façamos o desenho de acordo com as informações propostas:

Traçando a bissetriz do ângulo $alpha$ podemos dividir a figura em 2 triângulos retângulos, gerando dois angulos $heta$ de mesmo valor:

Por pitágoras, a hipotenusa desses dois triângulos vale $sqrt{5}$

Temos que:

$sen heta = frac{1}{sqrt{5}}$

$cos heta=frac{2}{sqrt{5}}$

O problema pede o valor do $cosalpha$ . (Lembre-se que $cos2a = cos^{2}a - sen^{2}a$ )

Se $cosalpha = cos2 heta$ ,

$cos2 heta = left(frac{2}{sqrt{5}} ight)^{2} - left( frac{1}{sqrt{5}} ight)^{2}$

$cos2 heta = frac{3}{5}$

resposta: C

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