Questão 9

FUVEST 2016

Matemática

(FUVEST - 2016 - 1a FASE) Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão

O valor de é

Gabarito:

Resolução:

Primeiro vamos usar a propriedade da mudança de bases:

$frac{1}{log_{a}b } = log _{b}a$

Manipulando um pouco a expressão inicial temos que:

$frac{1}{2}.frac{1}{log_{2}2016} + frac{1}{5}.frac{1}{log_{3}2016}+ frac{1}{10}.frac{1}{log_{7}2016}$

Aplicando a propriedade:

$frac{1}{2}log_{2016}2+ frac{1}{5}logo_{2016}3 + frac{1}{10}log_{2016}7$

Utilizando a propriedade das potências, temos:

$log_{2016}sqrt{2}+ log_{2016}sqrt[5]{3} + log_{2016}sqrt[10]{7}$

Manipulando as raízes:

$log_{2016}sqrt[10]{32}+ log_{2016}sqrt[10]{9} + log_{2016}sqrt[10]{7}$

$log_{2016}sqrt[10]{left(32.9.7 ight )}$

$log_{2016}sqrt[10]{2016}$

Aplicando inversamente a propriedade das potências:

$frac{1}{10}log_{2016}2016$

$frac{1}{10}.1 = frac{1}{10}$

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