Questão 3

FUVEST 2016

Matemática

(FUVEST - 2016 - 2a FASE)

João e Maria jogam dados em uma mesa. São cinco dados em forma de poliedros regulares: um tetraedro, um cubo, um octaedro, um dodecaedro e um icosaedro. As faces são numeradas de 1 a 4 no tetraedro, de 1 a 6 no cubo, etc. Os dados são honestos, ou seja, para cada um deles, a probabilidade de qualquer uma das faces ficar em contato com a mesa, após o repouso do dado, é a mesma.

Num primeiro jogo, Maria sorteia, ao acaso, um dos cinco dados, João o lança e verifica o número da face que ficou em contato com a mesa.

a) Qual é a probabilidade de que esse número seja maior do que 12?

b) Qual é a probabilidade de que esse número seja menor do que 5?

Num segundo jogo, João sorteia, ao acaso, dois dos cinco dados. Maria os lança e anota o valor da soma dos números das duas faces que ficaram em contato com a mesa, após o repouso dos dados.

c) Qual é a probabilidade de que esse valor seja maior do que 30?

Gabarito:

Resolução:

Apenas um dado possui mais de 12 lados, o icosaedro. Sendo assim , a probabilidade de se pegar ele é de $frac{1}{5}$

Dos lados do icosaedro, apenas 8 são maiores que 12. A probabilidade de um deles ser maior quu 12 é de $frac{2}{5}$

Sendo assim, a probabilidade de se retirar um valor maior que 12 é de: $frac{1}{5}.frac{2}{5 } = frac{2}{25}$

Agora todos os dados possuem lados menores que 5. Como é um caso em que você pode pegar qualquer dado e que será provavel que tire uma face menor do que cinco, temos que somar todas as probabilidades individuais dos dados de se tirar uma face menor que cinco.

$P = P_{t}+P_{c}+P_{o}+P_{d}+P_{i}$

$P = left(frac{1}{5}.1 ight ) + left(frac{1}{5}.frac{4}{6} ight ) + left(frac{1}{5}.frac{4}{8} ight ) + left(frac{1}{5}.frac{4}{12} ight ) + left(frac{1}{5}.frac{4}{20} ight )$

$P = frac{1}{5} + frac{4}{30} + frac{4}{40} + frac{4}{60} + frac{4}{60} + frac{4}{100} = frac{27}{50}$

As combinações de dois dados entre tetraedro, cubo, octaedro e dodecaedro nunca vão dar uma soma maior do que 30. Apenas combinações do Icosaedro com o dodecaedro podem resultar nisso.

O número de combinações de 2 dados que posso fazer nesse caso é dado por:

$C_{5,2} = frac{5!}{2!3!} = frac{5.4.3!}{2!3!} = 10$ .

A probabilidade então de se retirar esses dois dados é de $frac{1}{10}$

Com esses dois dados, existem apenas 3 casos em que a soma das faces resulta em mais de trinta.

11 - dodecaedro + 20 icosaedro( probabilidade = $frac{1}{12} .frac{1}{20} = frac{1}{240}$ )

12 dodecaedro + 20 icosaedro( probabilidade = $frac{1}{12} .frac{1}{20} = frac{1}{240}$ )

12 dodecaedro + 19 icosaedro( probabilidade = $frac{1}{12} .frac{1}{20} = frac{1}{240}$ )

Logo, a probabilidade desse evento é de:

$left(frac{1}{10}.frac{1}{240} ight) +left(frac{1}{10}.frac{1}{240} ight) +left(frac{1}{10}.frac{1}{240} ight)$

$P = frac{1}{800}$

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