Questão 6

FUVEST 2016

Matemática

(FUVEST - 2016 - 2a FASE)

As constantes A,B,C e D são tais que a igualdade

é válida para todo $x in mathbb{R}$

a) Deduza, da igualdade acima, um sistema linear com quatro equações, satisfeito pelas constantes A,B,C e D.

b) Resolva esse sistema e encontre os valores dessas constantes.

Gabarito:

Resolução:

Esse é um problema em que ele já converteu a divisão de polinômios original em frações parciais. Basta desenvolver para responder as alternativas.

a) Fazendo MMC do segundo termo, temos que:

$frac{1}{left(x^{2}+2x+2 ight) left(x^{2} + 4 ight )} = frac{left(Ax + B ight) left(x^{2} + 4 ight)}{left(x^{2}+2x+2 ight) left(x^{2} + 4 ight )} + frac{left(Dx + C ight) left(x^{2} + 2x + 2 ight)}{left(x^{2}+2x+2 ight) left(x^{2} + 4 ight )}$

Agora podemos cortar os denominadores e tirar os termos em evidência:

$1 = Ax^{3} + 4Ax +Bx^{2} + 4B + Dx^{3}+2Dx^{2}+2Dx+Cx^{2}+2Cx+2C$

Vamos apenas reorganizar esses termos para uma melhor vizualização:

$1 = Ax^{3} + Dx^{3}+ Bx^{2} + Cx^{2}+2Dx^{2}+ 4Ax + 2Cx + 2Dx +4B + 2C$

Iremos então, montar um sistema linear que satisfaça essa igualdade:

$4B + 2C = 1$

$4A +2C + 2D = 0$

$B+C+2D = 0$

$A+D = 0$

b) Agora iremos resolver esse sistema:

$A = -D$

Jogando na segunda enquação:

$4A + 2C - 2A = 0$

$A=-C$

$C = D$

Jogando na terceira equação temos que:

$B = -3C$ , ou seja:

$B = 3A$

Agora jogando essas informações na primeira equação:

$12A - 2A = 1 ightarrow A= frac{1}{10}$

$C,D = -frac{1}{10}$

$B = frac{3}{10}$

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