Questão 32

FUVEST 2018

Matemática

(FUVEST - 2018 - 1a fase)
Considere o polinômio

$P(x) = x^{n} + a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0},$

em que $a_{0},...,a_{n-1} in mathbb{R}.$ Sabe-se que as suas n raízes estão sobre a circunferência unitária e que $a_{0}<0$ .

O produto das n raízes de P(x), para qualquer inteiro $n geq 1$ , é:

-1

$i^{n}$

$i^{n+1}$

$(-1)^{n}$

$(-1)^{n+1}$

Gabarito:

$(-1)^{n+1}$

Resolução:

Utilizando a relação de Girard, temos que o produtos das raízes desse polinômio é dada pela divisão de $a_{0}$ pelo coeficiente de $x^{n}$ , com seu sinal variando de acordo com o valor de n.

$P = left(-1 ight )^{n}.a_{0}$ .

Como as raízes estão sobre a circunferência unitaria, o módulo de todas as raízes vale 1. Logo o módulo do produto das raízes também vale 1.

$left | P ight | = left | left(-1 ight )^{n} a_{0} ight |$ $ightarrow$ $left | P ight | = left | left(-1 ight )^{n} ight |left | a_{0} ight |$ (O módulo dos produtos é o produto dos módulos)

$left | a_{0} ight | = 1$

No enunciado está escrito que $a_{0}$ < 0.

Logo, $a_{0} = -1$

Então o produto das raízes é:

$P = left(-1 ight )^{n}.-1 = left(-1 ight )^{n+1}$

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