Questão 33

FUVEST 2018

Matemática

(FUVEST - 2018 - 1a fase)

O quadrilátero da figura está inscrito em uma circunferência de raio 1. A diagonal desenhada é um diâmetro dessa circunferência.

Sendo x e y as medidas dos ângulos indicados na figura, a área da região cinza, em função de x e y, é

$pi+sen(2x)+sen(2y)$

$pi-sen(2x)-sen(2y)$

$pi -cos(2x)-cos(2y)$

$pi - frac{cos(2x)+cos(2y)}{2}$

$pi - frac{sen(2x)+sen(2y)}{2}$

Gabarito:

$pi-sen(2x)-sen(2y)$

Resolução:

Para encontrar a área da região cinza devemos subtrair a área do quadrilátero da área da circunferência.

A área da circunferência é definida por: $pi.r^{2}$ . Sendo o raio igual a 1, essa área é igual a $pi$

Para descobrir a área do quadrilátero, devemos encontrar a área dos dois triângulos que chamaremos de 1 e 2, e que formam esse polígono. Para isso, iremos chamar os seus lados de a,b,c e d.

Devemos considerar os ângulos formados por ab e por cd como retos, já que são angulos opostos ao diâmetro da circunferência, que vale 2.

Para o triângulo 1 , temos que:

$A_{1} = frac{a.b}{2}$

$senx = frac{a}{2}$ $ightarrow$ $a = 2senx$

$cosx = frac{b}{2}$ $ightarrow$ $b = 2cosx$

$A_{1} = frac{a.b}{2} = frac{2senx . 2cosx}{2} = 2senxcosx$

Usando o mesmo raciocínio para o triângulo 2:

$A_{2} = frac{c.d}{2}$

$seny = frac{d}{2}$ $ightarrow$ $d = 2seny$

$cosy = frac{c}{2}$ $ightarrow$ $c = 2cosy$

$A_{2} = frac{c.d}{2} = frac{2seny . 2cosy}{2} = 2senycosy$

Agora, utilizando a identidade trigonométrica: $2senalpha.cosalpha = sen2alpha$

Temos que a área da região cinza é:

$A = pi - A_{1} - A_{2}$

$A = pi - sen2x - sen2y$

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