Questão 34

FUVEST 2018

Matemática

(FUVEST - 2018 - 1a fase)

Dois atletas correm com velocidades constantes em uma pista retilínea, partindo simultaneamente de extremos opostos, A e B. Um dos corredores parte de A, chega a B e volta para A. O outro corredor parte de B, chega a A e volta para B. Os corredores cruzam-se duas vezes, a primeira vez a 800 metros de A e a segunda vez a 500 metros de B. O comprimento da pista, em metros,é

A

1.000

B

1.300

C

1.600

D

1.900

E

2.100

Gabarito:

1.900

Resolução:

Representando o primeiro ponto de encontro dos atletas na pista, temos:

Dessa forma, definimos o comprimento total da pista como a distância de A até B:

$d_{AB}=800+x$

Como os atletas estão em velocidade constante, podemos obter expressões das velocidades de A e B, dividindo a distância percorrida pelo tempo.

$v_A= frac{800}{t_1}$ $v_B= frac{x}{t_1}$

Para o segundo ponto de encontro, temos:

Dessa forma:

$d_{AB}=y+500$

E as velocidades serão (lembrando que a distância percorrida é o que resta para chegar à extremidade mais o que foi percorrido depois desse ponto):

$v_A= frac{x+500}{t_2}$ $v_B= frac{y+800}{t_2}$

Como eles estão a velocidades constantes, podemos igualar as expressões de $v_A$ e $v_B$

$frac{800}{t_1}=frac{x+500}{t_2}$ e $frac{x}{t_1}=frac{800+y}{t_2}$

Trabalhando com as equações, encontramos:

$frac{t_2}{t_1}=frac{x+500}{800}$ e $frac{t_2}{t_1}=frac{800+y}{x}$

Logo:

$frac{x+500}{800}=frac{800+y}{x}$

Usando as duas expressões de distância de A até B, encontramos:

$d_{AB}=800+x=500+y$

$y=300+x$

Substituindo esse valor de y na expressão de x e y, obtemos:

$frac{x+500}{800}=frac{800+300+x}{x}$

Multiplicando cruzado e igualando a expressão a zero, obtemos:

$x^2-300x-880000=0$

Encontrando delta: $Delta =3610000$

Fazendo Bháskara: $x=frac{300+1900}{2}=1100$

Com isso:

$d_{AB}=800+x=800+1100=1900m$

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