Questão 1

Gabarito:

Resolução:

a) Como se tratam de 5 times, cada um deles fará 4 jogos, um com cada outro time da competição. Portanto, se um time vencer os 4 jogos, consequentemente os outros 4 times terão perdido pelo menos um jogo, não sendo possível então, dois times terem 4 vitórias cada. 

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b) Supondo que o time "A" seja o campeão com 4 vitórias, temos:

probabilidade de 4 vitórias de A: 

como o primeiro classificado pode ser qualquer um dos 5 times, e a probabilidade de um deles é  , basta multiplicá-la por 5: 

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c) 

A única forma de se terminar a competição com as 5 equipes empatadas é se todas vencerem 2 jogos e perderem 2.

Sendo assim, vamos calcular de quantas maneiras isso pode ocorrer fixando configurações para alguns times e analisando as consequências para os outros. 

Fixando a configuração A vence B e C e perde para D e E, temos os seguintes desdobramentos possíveis:

(obs: V significa vitória do time da linha sobre o time da coluna e D, derrota  do time da linha sobre o time da coluna)

Com B vencendo C e D (e perdendo para A e E)

	A	B	C	D	E
A	-	V	V	D	D
B	D	-	V	V	D
C	D	D	-	V	V
D	V	D	D	-	V
E	V	V	D	D	-

Com B vencendo C e E (e perdendo para A e D)

	A	B	C	D	E
A	-	V	V	D	D
B	D	-	V	D	V
C	D	D	-	V	V
D	V	V	D	-	D
E	V	D	D	V	-

Com B vencendo D e E (e perdendo para A e C)

	A	B	C	D	E
A	-	V	V	D	D
B	D	-	D	V	V
C	D	V	-	D	V
D	V	D	V	-	D
E	V	D	D	V	-

ou

	A	B	C	D	E
A	-	V	V	D	D
B	D	-	D	V	V
C	D	V	-	V	D
D	V	D	D	-	V
E	V	D	V	D	-

Sendo assim, há 4 configurações possíveis para cada configuração de A. 
Para calcular o total de configurações possíveis de A, basta permutar os quatro elementos ( V,V,D,D). Como são repetidos 2 a 2, trata-se de uma permutação com repetição:

Como há seis configurações possíveis para A vencer duas e perder duas e para cada uma há 4 configurações possíveis para os outros times, temos um total de:   formas possíveis dos 5 times empatarem. 

Para se determinar a probabilidade, temos que descobrir todos os resultados possíveis.

Como o campeonato tem 10 jogos:

AxB , AxC , AxD , AxE

BxC , BxD , BxE

CxD , CxE

DxE

E cada jogo tem 2 resultados possíveis (vitória ou derrota), temos  formas possíveis. 

Portanto, a probabilidade será: