Questão 2

FUVEST 2018

Matemática

(FUVEST - 2018 - 2a fase)

Considere as funções $f:left [ -frac{pi }{2}, frac{pi }{2} ight ] ightarrow left [ -1,1 ight ]$ e $g:left [0,pi ight ] ightarrow left [ -1,1 ight ]$ definidas por f(x) = senx e g(x) = cosx. Sendo f e g bijetoras, existem funções f-1 e g-1 tais que f-1 $circ$ f = f $circ$ f-1 = id e g-1 $circ$ g = g $circ$ g-1 = id, em que id é a função identidade.

a) Para $0 leq alpha leq 1$ , mostre que $left ( g circ f^{-1} ight )(alpha )=sqrt{1-alpha ^{2}}$ .

b) Mostre que $f^{-1}left ( frac{1}{2} ight )+g^{-1}left ( frac{sqrt{6}+sqrt{2}}{4} ight )=frac{pi }{4}$ .

Gabarito:

Resolução:

a)

$0leq alpha leq1 \ g(f^{-1})(alpha)= sqrt{1-alpha^2}$

Substituindo as funções f e g no que deve ser demonstrado:

$cos(arcsen : alpha)= sqrt{1-alpha^2}$

Considerando $arcsen : alpha=y$

Então aplicando sen em ambos os lados da equação:

$sen: y= alpha$

pela relação fundamental: $sen^2y+cos^2y=1$

substituindo

$alpha^2 + cos^2y=1 \ cos: y=pm sqrt{1- alpha^2}$

como estamos alfa deve estar entre 0 e 1, estamos no primeiro quadrante, onde o cosseno é positivo, logo:

$cos(arcsen: alpha)=cos(y)= sqrt{1- alpha ^2}: herefore$

_______________________________________________________________

b)

$f^{-1}(frac{1}{2})+g^{-1}(frac{sqrt6+sqrt2}{4})=frac{ pi }{4}$

analisando a primeira parte, temos:

$arcsen(frac{1}{2}) = alphaRightarrow sen alpha= frac{1}{2}Rightarrow alpha= frac{ pi }{6}$

analisando a segunda parte, temos:

$arccos(frac{sqrt6+sqrt2}{4}) = etaRightarrow cos eta= frac{sqrt6+sqrt2}{4}$

Mas, como:

$alpha+eta= frac{ pi}{4}$

Substituindo alfa, e isolando beta, temos:

$eta= frac{ pi}{4}-frac{ pi}{6}$

Aplicando cosseno em ambos os lados:

$cos : eta=cos( frac{ pi}{4}-frac{ pi }{6})$

Usando a relação de soma / subtração de arcos:

$cos :eta= sen :frac{ pi}{4} cdot sen : frac{ pi}{6} +cos :frac{ pi}{4} cdot cos : frac{ pi}{6}$

Substituindo os valores de seno e cosseno conhecidos:

$cos :eta= frac{sqrt2}{2} cdot frac{1}{2}+frac{sqrt2}{2} cdot frac{sqrt3}{2}$

$cos :eta= frac{sqrt2+sqrt6}{4}$

Provando a relação que devemos encontrar na segunda parte.

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