Questão 3

FUVEST 2018

Matemática

(FUVEST - 2018 - 2a fase)

Sejam C um subconjunto não vazio e P um ponto, ambos em um mesmo plano, tais que P $otin$ C. Diz-se que “P enxerga C sob um ângulo $alpha$ " se $alpha$ for a medida do menor ângulo com vértice em P que contenha C. Por exemplo, na figura, o ponto P enxerga o quadrado C sob o ângulo $alpha$ indicado.

a) Se for um círculo de raio r, centrado na origem de um plano cartesiano real, determine o lugar geométrico dos pontos que enxergam C sob um ângulo de 60° .

b) Se for a união dos segmentos OA e OB , em que A = (a, 0) e B = (0,b), com a,b > 0, determine o lugar geométrico dos pontos que enxergam C sob um ângulo de 90°.

Gabarito:

Resolução:

Em construção:

Pelo desenho, podemos observar que:

Devido à simetria, o segmento OP é bissetriz do ângulo em P e pela propriedade de tangência, PN e PM formam ângulos retos com os raios da circunferência.

Logo, temos dois triângulos retângulos PNO e PMO e seus ângulos em P valem 30° cada um. Sendo assim, podemos usar a trigonometria:

$sen : 30^{circ}=frac{r}{OP}=frac{1}{2}$

logo: $OP=2r$

Notamos que, por simetria, qualquer ponto da circunferência verde tracejada enxergará o círculo sobre essas mesmas condições. Portanto, o lugar geométrico dos pontos será a circunferência de raio 2r centrada na origem. Sua equação é:

$x^2+y^2=(2r)^2Rightarrow x^2+y^2=4r^2 : ou: x^2+y^2-4r^2=0$

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Os pontos que enxergam um segmento de reta sob o ângulo de 90° formam uma semi-circunferência. Dessa maneira, obtemos:

Vemos que o semicírculo c "enxerga" o segmento OB, o semicírculo d enxerga o segmento OA e o semicírculo e enxerga o segmento AB. Sendo assim, basta determinar as equações desses semicírculos:

semicírculo c (para x<0)

Centro: $(0,frac{b}{2})$