Questão 4
FUVEST 2018
(FUVEST - 2018 - 2a fase)
Considere a sequência a1 = 6, a2 = 4, a3 = 1, a4 = 2, e an = an-4, para . Defina
para
, isto é,
é a soma de k + 1 termos consecutivos da sequência começando do n-ésimo, por exemplo,
.
a) Encontre n e k tal que .
b) Para cada inteiro j, , encontre n e k tal que
.
c) Mostre que, para qualquer inteiro j, , existem inteiros
e
tais que
.
Gabarito:
Resolução:
a) Como a sequência se trata de 6,4,1,2,6,4,1,2... e isso se repete periodicamente, percebemos que a soma de termos consecutivos é igual a 20 quando eles se iniciam em 4 e terminam 2.
Logo:
ou
ou
Logo:
---------------------------------------------------------------------
b)
-------------------------------------------------------
c) No item b, já encontramos que, para existem n e k inteiros tais que
Se observamos o caso de j=13 (ou múltiplo de 13) teremos:
No caso de j não ser múltiplo de 13, podemos escrevê-lo como:
j=13q + r
com q inteiro e r sendo um número inteiro entre 1 e 12.
Pela primeira parte, vemos que para 13q (como é múltiplo de 13) existem n e k que satisfazem a condição. Já pela resolução do item b, percebemos que existem n e k para qualquer j entre 1 e 12, então devem existir n e k para r.