Questão 5

FUVEST 2018

Matemática

(FUVEST - 2018 - 2a fase)

Para responder aos itens a) e b), considere a figura correspondente.

a) Num tetraedro 0 ABC, os ângulos $Awidehat{O}B, Bwidehat{O}C$ e $Cwidehat{O}A$ medem 90º . Sendo $alpha$ e $eta$ as medidas dos ângulos $Awidehat{C}O$ e $Bwidehat{C}O$ , respectivamente, expresse o cosseno do ângulo $Awidehat{C}B$ em função de $alpha$ e $eta$ .

b) Um navio parte do ponto de latitude 0º e longitude 0º e navega até chegar a um ponto de latitude 45º sul e longitude 45º oeste, seguindo a trajetória que minimiza a distância percorrida. Admita que a Terra seja esférica de raio R = 6000km. Qual foi a distância percorrida pelo navio?

Gabarito:

Resolução:

Usando trigonometria nos triângulos retângulos BOC, AOC e AOB, temos:

$cos : alpha= frac{OC}{AC} ightarrow AC= frac{OC}{cos : alpha}$

$cos : eta= frac{OC}{BC} ightarrow BC= frac{OC}{cos : eta}$

$sen : eta= frac{OB}{BC} ightarrow OB= BC cdot sen: eta$

$sen : alpha= frac{AO}{AC} ightarrow OA= AC cdot sen : alpha$

Pitágoras em AOB:

$AB^2= AO^2+ OB^2 ightarrow AB^2 = (AC cdot sen : alpha)^2+ (BC cdot sen: eta)^2$

Substituindo AC e AB isolados na expressão de AB, encontramos:

$AB^2 = (frac{OCcdot sen : alpha}{cos : alpha} )^2+ (frac{OCcdot sen : eta}{cos : eta} )^2 \ \ AB^2 = OC^2 cdot : tg^2 alpha + OC^2 cdot : tg^2 eta \ \ AB^2=OC^2(tg^2 alpha+tg^2 eta)$

Usando lei dos cossenos no triângulo ABC, temos:

$AB^2=BC^2+AC^2-2BC cdot AC cdot cos Ahat{C}B$

substituindo os termos já encontrados, que estão em função de alfa, beta e OC, temos:

$OC^2(tg^2alpha+tg^2 eta)=frac{OC^2}{cos^2 eta}+ frac{OC^2}{cos^2 alpha}-2 cdot frac{OC}{cos eta} cdot frac{OC}{cos alpha} cdot cos Ahat{C}B$

Simplificando $OC^2$ dos dois lados da equação e remanejando, temos:

$[frac{sen^2 alpha}{cos^2alpha}-frac{1}{cos^2alpha}+frac{sen^2 eta}{cos^2eta}-frac{1}{cos^2eta}] cdot cos eta cdot cosalpha=-2cosAhat{C}B$

Pela relação fundamental, temos: $sen^2 x-1=-cos^2x$

Então:

$[frac{-cos^2alpha}{cos^2alpha}+frac{-cos^2eta}{cos^2eta}] cdot cos eta cdot cosalpha=-2cosAhat{C}B$

$[-1-1] cdot cos eta cdot cosalpha=-2cosAhat{C}B$

$cosAhat{C}B=cos eta cdot cosalpha$

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Supondo A o ponto de coordenadas 0° e 0° (ponto de partida).
Supondo B o ponto de coordenadas 0° latitude e 45° longitude.
Supondo C o ponto de coordenadas 45° latitude e 45° longitude (ponto de chegada).

Percebemos que A e B estão sobre o mesmo paralelo (linha do equador) e B e C estão sobre o mesmo meridiano (de 45°).

Sendo O o centro do globo, traçamos retas (que equivalem ao raio) OA, OB e OC. Podemos perceber que o ângulo AÔB deve ser de 45° (já que o trajeto de A até B corresponde a percorrer 45° sobre a linha do equador na superfície do globo. Analogamente, o ângulo BÔC também deve medir 45°, porque ir de B para C corresponde a percorrer 45° no meridiano.

Dessa maneira, temos uma situação análoga à figura da questão a, onde:

O arco AC é a distância percorrida pelo navio. Sendo assim, para descobrir o comprimento do arco, devemos saber o ângulo correspondente, que é AÔC. Assim, podemos usar o resultado obtido no item anterior:

$cos(Ahat{O}C)=cos45^{circ} cdot sen45^{circ}$