Questão 5

FUVEST 2018

Matemática

(FUVEST - 2018 - 2 FASE)

No plano cartesiano real, considere o triângulo ABC, em que A=(5,0), B=(8,0), C=(5,5), e a reta de equação $y=alpha x$ , $0< alpha <1$ . Seja $f(alpha )$ a área do trapézio ABED, em que D é a intersecção da reta $y=alpha x$ com a reta de equação x=5, e o segmento DE é paralelo ao eixo 0x.

a) Encontre o comprimento do segmento DE em função de $alpha$ .

b) Expresse $f(alpha )$ e esboce o gráfico da função $f$ .

Gabarito:

Resolução:

a) Primeiramente, a medida AD depende de $alpha$ , pois D é o ponto onde AC e y se interceptam. Como AC existe na reta x=5, o ponto D é representado por $(alpha , 5alpha)$ , sendo $5alpha$ a medida do segmento AD.

Logo, o segmento CD mede $5-5alpha$ . Os triângulos CDE e CAB são semelhantes, utilizando sua razão de semelhança:

$frac{CD}{CA}=frac{DE}{AB}$

$frac{5-5alpha }{5}=frac{DE}{3}$

$DE=3 imes(1-alpha )$

$DE=3-3alpha$

b) As bases do trapézio são BA e DE, sua altura é DA, logo:

$f(alpha )=frac{(3 + (3-3alpha )) imes5alpha }{2}$

$f(alpha )=frac{30alpha-15alpha ^2 }{2}$

Assim, podemos ver que $f(alpha )$ é uma parábola, como o enunciado diz que $0< alpha <1$ :

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