Questão 6

FUVEST 2018

Matemática

(FUVEST - 2018 - 2 FASE)

Uma cerca tem formato de um polígono regular de $n$ lados, cada lado com comprimento $l$ . A égua Estrela pasta amarrada à cerca por uma corda, também de comprimento $l$ , no exterior da região delimitada pelo polígono. Calcule a área disponível para pasto supondo que:

a) a extremidade da corda presa à cerca está fixada num dos vértices do polígono;

b) a extremidade da corda pudesse deslizar livremente ao longo de todo o perímetro da cerca.

Gabarito:

Resolução:

a) O ângulo interno de um polígono de n lados é:

$frac{(n-2) imes180}{n}$ .

O espaço que a Estrela terá para pastar será um setor circular externo à cerca, em qualquer um de seus vértices. Este setor círcular têm ângulo:

$360 -frac{(n-2) imes180}{n}$

Logo, sua área será:

$pi l^2 imesfrac{(360 -frac{(n-2) imes180}{n})}{360}Rightarrow pi l^2 imesfrac{(180n +360)}{360n}Rightarrow pi l^2(frac{1}{2}+frac{1}{n})$

b) Independente do número de lados do polígono, o espaço de pasto sempre se apresentará da seguinte forma:

Como um quadrado de lado l acima de todas as arestas, e um setor circular de ângulo $alpha$ entre estes quadrados.

O ângulo $alpha$ mede:

$alpha = 360 - 180 - frac{(n-2) imes180}{n}Rightarrow alpha =frac{360}{n}$

A área de pasto terá n quadrados e n setores circulares (um quadrado para cada aresta, um setor para cada vértice), assim sendo, a área total é:

$n imes l^2 + n imes(frac{frac{360}{n}pi l^2}{360})$

$nl^2 + pi l^2$

Questões relacionadas

Questão 26

(FUVEST - 2018 - 1a fase) Doze pontos são assinalados sobre quatro segmentos de reta de forma que três pontos sobre três segmentos distintos nunca são colineares, como...

Ver questão

Questão 24

(FUVEST - 2018 - 1a fase) Em uma urna, há bolas amarelas, brancas e vermelhas. Sabe-se que: I. A probabilidade de retirar uma bola vermelha dessa urna é o dobro da probabilidade de ret...

Ver questão

Questão 29

(FUVEST - 2018 - 1a fase) Prolongando-se os lados de um octógono convexo ABCDEFGH, obtém-se um polígono estrelado, conforme a figura. A soma vale

Ver questão

Questão 25

(FUVEST - 2018) Sejam e definidas por e , respectivamente. o gráfico da função composta gºf é:

Ver questão