Questão 7

FUVEST 2018

Matemática

(FUVEST - 2018 - 2 FASE)

Em um torneio de xadrez, há $2n$ participantes.

a) Na primeira rodada, há $n$ jogos. Calcule, em função de $n$ , o número de possibilidades para se fazer o emparceiramento da primeira rodada, sem levar em conta a cor das peças.

b) Suponha que 12 jogadores participem do torneio, dos quais 6 sejam homens e 6 sejam mulheres. Qual é a probabilidade de que, na primeira rodada, só haja confrontos entre jogadores do mesmo sexo?

Gabarito:

Resolução:

a) A forma de escolher todas as duplas do torneio é definindo o produto entre a primeira, segunda, terceira, etc, até que se esgote o número de jogadores.

Como a ordem dos pares não importa, devemos dividir estas duplas pelo número de n permutações. Desta forma é:

$frac{inom{2n}{2} imesinom{2n-2}{2} imesinom{2n-4}{2}...inom{2}{2}}{n!}$

$frac{frac{2n!}{(2n-2)!2!} imes frac{(2n-2)!}{(2n-4!)2!} imes frac{(2n-4)!}{(2n-6!)2!}... imesfrac{2!}{2!}}{n!}$

Note como a partir do segundo produto, o dividendo do fator pode se cancelar com parte do divisor do seu antecessor, restando apenas 2 em cada divisor. Assim:

$frac{frac{2n!}{2^n}}{n!}=frac{2n!}{2^n imes n!}$

b) O número de maneiras de se formar duplas apenas entre pessoas do mesmo sexo é o produto entre as maneiras de formas duplas apenas com homens pelas maneiras de se formas duplas apenas com mulheres. Lembrando que a ordem das duplas não importa por isto as dividimos pelas permutações possíveis.

$frac{inom{6}{2} imes inom{4}{2} imes inom{2}{2}}{3!} imes frac{inom{6}{2} imes inom{4}{2} imes inom{2}{2}}{3!}$

$frac{15 imes6 imes1}{6} imes frac{15 imes6 imes1}{6}Rightarrow 15 imes15=225$

Para encontrar o total de possibilidades, basta usar a expressão do item a:

$frac{2n!}{2^n imes n!}Rightarrow n=6$

$frac{12!}{2^6 imes 6!}Rightarrow frac{12 imes 11 imes 10 imes 9 imes 8 imes 7}{64}=10395$

A probabilidade é:

$frac{225}{10395}=frac{5}{231}$

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