Questão 5

FUVEST 2020

Matemática

(FUVEST - 2020 - 2 fase) É dada a função $f:[0, pi] ightarrow mathbb{R}$ definida por $f(x)=sin^4(x)+cos^4(x)$ para todo $x in [0, pi]$ .

a) Apresente três valores $x in [0, pi]$ para os quais $f(x)=1$ .

b) Determine os valores $x in [0, pi]$ para os quais $f(x)=frac{5}{8}$

c) Determine os valores $x in [0, pi]$ para os quais $frac{1}{2}f(x)+frac{3}{8}sin(2x)geq frac{5}{8}$

Gabarito:

Resolução:

1) Primeiramente vamos organizar $f(x)=sin^4(x)+cos^4(x)$ .

2) Sabendo que $(sin^2(x)+cos^2(x))^2=sin^4(x)+cos^4(x)-2 cdot sin^2(x) cdot cos^2(x)$ , temos que:

$f(x)=(sin^2(x)+cos^2(x))^2-2cos^2(x) cdot sin^2(x)$

3) Como $sin^2(x)+cos^2(x)=1$ , temos que

$f(x)=1-2cos^2(x) cdot sin^2(x)$

4) Como $2cos left(x ight)sin left(x ight)=sin left(2x ight)$

$f(x)=1- frac{sin^2(2x)}{2}$

a)

a.1) Temos que $f(x)=1$ , logo

$1=1- frac{sin^2(2x)}{2}$

a.2) Desenvolvendo encontramos que

$sin ^2left(2x ight)=0$

a.3) Como para $x^n=0quad Rightarrow:x=0$ , temos que

$sin left(2x ight)=0$

a.4) Com isso, temos as soluções gerais:

$x=pi n,:x=frac{pi }{2}+pi n$

a.5) Como $x in [0, pi]$

$oxed{x_1=0,;x_2=frac{pi}{2};e;x_3=pi}$

b)

b.1) Para $f(x)=frac{5}{8}$ , temos que:

$frac{5}{8}=1- frac{sin^2(2x)}{2}$

b.2) Considerando $sin left(2x ight)=u$

$1-frac{u^2}{2}=frac{5}{8}$

b.3) Organizando:

$-frac{u^2}{2}=-frac{3}{8}$

$u^2=frac{3}{4}$

b.4) Com isso, temos que:

$u=pm frac{sqrt{3}}{2}$

b.5) $mathrm{Substituir:na:equação}:u=sin left(2x ight)$

b.5.1) $sin left(2x ight)=frac{sqrt{3}}{2}$

$2x=frac{pi }{3}+2pi nquad Rightarrow x=frac{pi }{6}+pi n$

$2x=frac{2pi }{3}+2pi nquad Rightarrow x=frac{pi }{3}+pi n$

b.5.2) $sin left(2x ight)=-frac{sqrt{3}}{2}$

$2x=frac{4pi }{3}+2pi n:quad x=frac{2pi }{3}+pi n$

$2x=frac{5pi }{3}+2pi n:quad x=frac{5pi }{6}+pi n$

b.6) Logo, as soluções são

$x=frac{pi }{6}+pi n,:x=frac{pi }{3}+pi n,:x=frac{2pi }{3}+pi n,:x=frac{5pi }{6}+pi n$

b.7) Como $x in [0, pi]$

$oxed{x_1=frac{pi }{6},:x_2=frac{pi }{3},:x_3=frac{2pi }{3},:x_4=frac{5pi }{6}}$

c) Temos que $frac{1}{2}f(x)+frac{3}{8}sin(2x)geq frac{5}{8}$ .

c.1) Organizando:

$frac{1}{2} cdot (1- frac{sin^2(2x)}{2})+frac{3}{8}sin(2x)geq frac{5}{8}$

c.2) Considerando $sin left(2x ight)=u$

$frac{1}{2}left(1-frac{u^2}{2} ight)+frac{3}{8}uge frac{5}{8}$

c.3) Expandindo os termos:

$frac{1}{2}-frac{u^2}{4}+frac{3}{8}u-frac{5}{8}ge :0$

c.4) $mathrm{Multiplicar:pelo:MMC=}8$ :

$frac{1}{2}cdot :8-frac{u^2}{4}cdot :8+frac{3}{8}ucdot :8-frac{5}{8}cdot :8ge :0cdot :8$

c.5) Simplificando:

$-2u^2+3u-1ge :0$

$left(2u-1 ight)left(u-1 ight)ge :0$

c.6) Analisando os sinais:

c.7) Logo,

$frac{1}{2}le :ule :1$

c.8) Com isso,

$frac{1}{2}le sin left(2x ight)le :1 Rightarrow frac{1}{2}le sin left(2x ight)quad mathrm{e}quad sin left(2x ight)le :1$

c.8.1)

$sin left(2x ight)ge frac{1}{2}$

$frac{pi }{12}+pi nle :xle frac{5pi }{12}+pi n$

c.8.2)

$sin left(2x ight)le :1quad :quad mathrm{Verdadeiro:para:todo}:xin mathbb{R}$

c.9) Logo,

$frac{pi }{12}+pi nle :xle frac{5pi }{12}+pi n$

c.10) Como $x in [0, pi]$

$oxed{frac{pi }{12}le :xle frac{5pi }{12}}$

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