Questão 6

FUVEST 2020

Matemática

(FUVEST - 2020 - 2 fase)

Resolva os três itens abaixo:

a)Considere o conjunto formado pelos números complexos $ext{z}$ que cumprem a condição $ext{Re(z)} = ext{Im(z)}$ . Cada elemento desse conjunto será objeto da transformação que leva um número complexo em seu conjugado. Represente no plano complexo (ou plano de Argand-Gauss) da folha de respostas o conjunto resultante após essa transformação.

b) Determine o lugar geométrico dos pontos $ext{z}$ do plano complexo tais que ${z eq -1 }$ e para os quais $frac{z-1}{z+1}$ é um número imaginário puro.

c) Determine as partes reais de todos os números complexos $ext{z}$ tais que as representações de $ext{z, i e 1}$ no plano complexo sejam vértices de um triângulo equilátero.

Gabarito:

Resolução:

Seja $z=a+bi$ , pelas condições do enunciado:

$Re(z)=Im(z) Rightarrow b=aRightarrow z=a+ai$

Seja a transformação $T$ descrita:

$T(z)=overline{z}Rightarrow T(z)=a-ai$

a) O lugar geométrico de $T(z)=aleft (1-i ight )$ é a bissetriz dos quadrantes pares

b) $z eq 1$ e $Releft (frac{z-1}{z+1} ight )=0$

Seja $w=frac{z-1}{z+1}$ e seja $z=a+bi$

$w=frac{a-1+bi}{a+1+bi}$ , multiplicando pelo conjugado em cima e em baixo:

$w=frac{left (a-1 ight )+bi}{left (a+1 ight )+bi}cdot frac{(a+1)-bi}{(a+1)-bi}$

$w=frac{left (a-1 ight )left ( a+1 ight )+left ( a+1 ight )bi+left ( a-1 ight )bi+b^{2}}{left (a+1 ight )^{2}-b^{2}}$

$w=frac{a^{2}-1+b^{2}}{(a+1)^{2}+b^{2}}+icdot frac{b}{(a+1)^{2}+b^{2}}$

$Re(w)=0Rightarrow a^{2}-1+b^{2}=0$

$Rightarrow a^{2}+b^{2}=1$

Logo o lugar geométrico $LG$ é:

$LG=left { zin mathbb{C} /left | z ight |=1 e z eq -1 ight }$

c)

Fazemos as distâncias de $z=a+bi$ até $i$ é 1. É fácil ver que o lado do triângulo vale $sqrt{2}$ pelo triângulo:

Logo $d_{z-1}=sqrt{2}$ e $d_{z-i}=sqrt{2}$ .

$egin{cases} d_{z-1} ^{2}=left | z-1 ight |^{2}=2=(a-1)^{2}+b^{2}\ d_{z-i } ^{2}=left | z-i ight |^{2}=2=a^{2}+left ( b-1 ight )^{2} end{cases}$

$egin{cases} (a-1)^{2}+b^{2}=2\ a^{2}+left ( b-1 ight )^{2}=2 end{cases}Rightarrow$ $egin{cases} a^{2}+b^{2}+1-2a=2\ a^{2}+ b^{2}+1-2b=2 end{cases}$

Logo, $a=b$ , então:

$2a^{2}-2a-1=0 Rightarrow a=frac{1pm sqrt{3}}{2}$

Chegando então em 2 valores de $z$ :

$z=frac{1+sqrt{3}}{2}+icdot frac{1+sqrt{3}}{2}$ e

$z=frac{1-sqrt{3}}{2}+icdot frac{1-sqrt{3}}{2}$

(Outro método)

A questão pode ser resolvida geometricamente:

$z_{1}=1+sqrt{2} cis(75^{circ})$

Nota-se que o ângulo do triângulo retângulo é 45º e do triângulo equilátero é 60º

$z_{2}=1-sqrt{2} cis(15^{circ})$

Obs: - $cis( heta )=cos( heta )+icdot sen( heta )$

- Números complexos podem ser somados tal como valores e podem ser escritos em sua forma ângular:

$z=rcdot cis( heta )$

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