Questão 3
FUVEST 2021
(FUVEST - 2021 - 2ª FASE)
É dado o sistema linear , em que 𝑝 e 𝑞 são números reais.
a) Determine todos os valores de 𝑝 e 𝑞 para que o sistema seja possível e indeterminado (isto é, tenha mais do que uma solução).
b) Determine todos os valores de 𝑝 e 𝑞 para que o sistema tenha solução (𝑥; 𝑦) com 𝑥=0.
c) Determine todos os valores de 𝑝 e 𝑞 para que o sistema não tenha solução.
Gabarito:
Resolução:
O sistema é
Deve-se ter em mente o seguinte esquema:
a) O sistema pedido é SPI, ou seja, deve ter determinantes primários e secundários iguais a zero:
Substituindo estes valores de p e q no sistema:
que caracteria uma equação só com infinitas soluções possíveis.
SOLUÇÃO: p = 4/5 e q = 6/5.
b) O sistema pedido é um Sistema Determinado (SPD), ou seja, um sistema que possua somente uma solução (x,y) tal que x = 0.
Na primeira equação do sistema podemos descobrir y:
2x + 3y = 5 => 3y = 5 => y = 5/3.
Substituindo este valor de y na segunda equação:
px + qy = 2 => q = 2/y = 2/(5/3) => q = 6/5.
Mas lembre-se de que se trata de um sistema SPD, então temos que o determinante primário deve ser diferente de zero:
, porém como x=0 p pode ser qualquer real.
SOLUÇÃO: q = 6/5, como x=0 p pode ser qualquer real.
c) O sistema pedido é SI, ou seja, não há solução. Aqui devemos ter o determinante primário como sendo zero, porém, pelo menos um dos determinantes secundários devem ser diferentes de zero:
Possibilidade 1:
, mas como
, então
.
Possibilidade 2:
, mas como
, então
.
SOLUÇÃO: p pode ser qualquer real diferente de 4/5 e q pode ser qualquer real diferente de 6/5.