Questão 5
FUVEST 2021
(FUVEST - 2021 - 2ª FASE)
O perímetro de uma figura plana é o comprimento de seu contorno. O diâmetro de uma figura plana é a maior distância entre dois pontos do contorno dessa figura. Calcule a razão entre o perímetro e o diâmetro em cada uma das figuras planas nos casos a seguir:
a) Um retângulo com lados de medidas 3 e 4.
b) O triângulo obtusângulo ABC mostrado na Figura 1.
c) A região colorida dentro do círculo de raio 𝑟 mostrada na Figura 2.
Gabarito:
Resolução:
a) O retângulo seria como desenhado abaixo:
Como o diâmetro é a maior distância entre dois pontos localizados sobre o perímetro da figura, então o diâmetro do retângulo deve ser sua diagonal. Assim:
Diâmetro:
Perímetro:
RAZÃO:
b)
Primeiramente obtemos, por Pitágoras, o valor do lado CB do triângulo retângulo CDB:
Para descobrirmos AB podemos fazer Pitágoras em ADB:
Com o valor dos lados desse triângulo ABC em mãos podemos calcular o perímetro e diâmetro do mesmo.
Como o diâmetro é a maior distância entre pontos do perímetro do triângulo, a maior distância obtida entre dois pontos de um triângulo é o próprio lado maior desse triângulo. No caso desse triângulo, o maior lado é AB, logo:
Diâmetro:
Perímetro:
RAZÃO:
c)
Perceba que os três ângulos centrais dessa figura circular são todos iguais a 120°.
No triângulo destacado de lados r, r e x podemos fazer Lei dos Cossenos para obtermos x em função a r:
O diâmetro dessa figura é o próprio diâmetro do círculo que é 2r.
Já o perímetro é igual a x mais o perímetro do setor circular direito. Veja que dividindo o círculo em três partes iguais, ou seja, em três setores de 120° cada (já que o círculo tem 360° como ângulo central, então 360° / 3 = 120° para cada setor). Então, cada setor circular de 120° possui perímetro igual a um terço do perímetro de um círculo normal. Como esta figura na parte direita é a junção de dois setores circulares de 120° cada, então o perímetro dessa parte é dois terços do perímetro do círculo completo. Assim:
Diâmetro:
Perímetro:
RAZÃO: