Questão 38

FUVEST 2022

Matemática

(FUVEST- 2022 - 1ª fase)

Suponha que o polinômio $p(x) = x^{3}+mx-2$ , em que 𝑚 é um número real, tenha uma raiz real dupla 𝑎 e uma raiz real simples 𝑏. O valor da soma de 𝑚 com 𝑎 é:

-1

-2

-3

-4

Gabarito:

-4

Resolução:

Se $a$ é raiz real dupla deste polinômio e $b$ raiz real simples. Por divisibilidade este polinômio pode ser escrito como:

$k(x-a)^2(x-b)$

Podemos notar pelo polinômio do enunciado que k=1 (sendo k o coeficiente que acompanha $x^3$ ), logo o polinômio é:

$(x-a)^2(x-b)$

$(x^2 - 2ax + a^2)(x-b)$

$x^3 -bx^2 -2ax^2 +2abx + a^2x -a^2b$

Organizando:

$x^3 -bx^2 -2ax^2 +a^2x+2abx -a^2b$

$x^3 +(-b-2a)x^2 +(2ab+a^2)x -a^2b$

Comparando os coeficientes com o polinômio do enunciado, temos que:

$-b-2a=0$

$b=-2a$

E também:

$-a^2b=-2$

$-a^2(-2a)=-2$

$2a^3=-2$

$a^3=-1$

$a=-1$

$b=-2(-1)=2$

Logo:

$m=2ab + a^2$

$m=2(-1)(2) + (-1)^2$

$m=-4 + 1$

$m=-3$

E a soma $a+m$ :

$-1-3=-4$

Alternativa E.

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