Questão 2

FUVEST 2022

Matemática

(FUVEST - 2022 - 2ª fase)

Uma função $f$ está definida no intervalo [−2 , 9] da seguinte forma: para $x epsilon$ [−2 , 2], $f$ leva $x$ em $x^2$ e, no restante do domínio, o seu gráfico é formado por dois segmentos de reta conforme mostra a figura.

a) Apresente todos os intervalos do domínio da função $f$ nos quais ela é crescente.

b) Determine os valores de $f$ nos pontos $x = -frac {3}{2}, x = frac 72 e x=8$

c) Para cada valor de 𝑥 ∈ ]0 , 9[ , considere o retângulo 𝑅௫ com vértices nos pontos $A = (x , 0),B = (9 , 0), C = (9 , f(x))$ e
$D = (x, f(x))$ . Escreva a expressão da área de R_x, em função de x, para x no intervalo ]0 , 9[.

Gabarito:

Resolução:

a) Para que a função seja crescente, da definição, se $x > x_0$ , então $f(x) > f(x_0)$

Logo, na função, os intervalos de crescimento são dados por:

$S = {0 < x < 2 cup 5 < x < 9}$

b) Para $x = frac{-3}{2}$ , $x = frac{7}{2}$ e $x = 8$

Para $x = frac{-3}{2}$ , a função é dada por $f(x) = x^{2}$ , então $f(x) = x^{2}$ então $f(frac{-3}{2}) = (frac{-3}{2})^{2}$ e temos $f(frac{-3}{2}) = frac{9}{4}$

Para $x = frac{7}{2}$ , a função é $f(x) = 4$ , logo $f(frac{7}{2}) = 4$

Para $x = 8$ , a função dada é uma reta de equação $f(x) = frac{1}{2}x + frac{3}{2}$ para $5 < x < 9$

Então $f(8) = frac{1}{2}8 + frac{3}{2}$

$f(8) = 4+ frac{3}{2}$

$f(8) = frac{11}{2}$

c) Para determinar a área, podemos escolher, arbitrariamente, três pontos e fazer o determinante entre eles, pois a área do retângulo é duas vezes a área do triângulo equivalente, logo:

$left[ egin{array}{ccc} x & 0 & 1 \ 9 & 0 & 1\ 9 & f(x) & 1 end{array} ight]$

Então, o determinante da matriz dada

$det = f(x)(x+9)$

Como para encontrarmos a área, multiplicamos por 2:

$A = 2f(x)(x+9)$

Para cada um dos intervalos:

No intervalo $-2 < x < 2$ :

$A = 2x^{2}(x+9)$

No intervalo $2 < x < 5$ :

$A = 8(x+9)$

No intervalo $5 < x < 9$ :

$A = 2( frac{1}{2}x + frac{3}{2})(x+9)$

Questões relacionadas

Questão 32

(FUVEST - 2022 - 1ª fase) Um vídeo tem três minutos de duração. Se o vídeo for reproduzido, desde o seu início, com velocidade de 1,5 vezes a velocidade...

Ver questão

Questão 30

(FUVEST- 2022 - 1ª fase) Atualmente, no Brasil, coexistem dois sistemas de placas de identificação de automóveis: o padrão Mercosul (o mais recente) e aquele que se i...

Ver questão

Questão 31

(FUVEST - 2022 - 1ª fase) O sistema de numeração conhecido como chinês científico (ou em barras) surgiu provavelmente há mais de dois milênios. O sistema...

Ver questão

Questão 33

(FUVEST - 2022 - 1ª fase) Uma indústria produz três modelos de cadeiras (indicadas por , e ), cada um deles em duas opções de cores: preta e vermelha (indic...

Ver questão