Questão 6

FUVEST 2022

Matemática

(FUVEST - 2022 - 2ª fase)

Uma empresa distribuidora de alimentos tem latas de ervilha (E) e latas de milho (M), em dois pesos, 1 kg e 2kg, totalizando 4 (quatro) tipos de latas: E1 e E2 (ervilha, em pesos de 1kg e 2kg, respectivamente) e M1 e M2 (milho, em pesos de 1kg e 2kg, respectivamente). Essas latas são agrupadas em pacotes para envio aos comerciantes. Dois pacotes de latas são considerados iguais se contiverem a mesma quantidade de latas de cada tipo, independentemente da maneira como são organizadas no pacote.

a) Quantos pacotes diferentes pesando, cada um, exatamente 200kg (duzentos quilos) podem ser montados usando-se apenas latas dos tipos E1 e E2? Na contagem, deve-se também levar em conta pacotes formados por apenas 1 tipo dessas latas.

b) Quantos pacotes diferentes pesando, cada um, exatamente 200kg (duzentos quilos) podem ser montados usando-se apenas latas dos tipos E1, E2 e M1? Na contagem, deve-se também levar em conta pacotes formados por apenas 1 ou 2 tipos dessas latas.

c) Quantos pacotes diferentes pesando, cada um, exatamente 20kg (vinte quilos) podem ser montados usando-se latas dos tipos E1, E2, M1 e M2? Na contagem, deve-se também levar em conta pacotes formados por apenas 1, 2 ou 3 tipos dessas latas.

Gabarito:

Resolução:

a) Vamos chamar de x a quantidade de latas E1 e de y a quantidade de latas E2. Assim, temos a equação:

$xcdot 1+ycdot 2=200$

$x+2y=200$ , em que x e y são inteiros não negativos

Para x=0, y=100
Para x=1, não há valor inteiro de y, notamos então que o valor de x deve ser par em qualquer solução.
Para x=2, y=99

…

Para x=200, y=0

Percebemos então, que o valor de y pode variar de 0 a 100, então temos 101 possibilidades de pacotes.

b) Vamos chamar de x a quantidade de latas E1, de y a quantidade de latas E2 e de z a quantidade de latas M1. Assim, temos a equação:

$xcdot 1+ycdot 2 +zcdot 1=200$

Percebemos, a partir da letra a, que cada equação da forma: $x+2y=a$ tem $frac{a}{2}+1$ soluções, (se a for ímpar, então somamos apenas o valor inteiro). Por exemplo:

$x+2y=200$ -> $frac{200}{2}+1=100+1=101$

$x+2y=201$ -> parte inteira de $frac{200}{2}+1=100+1=101$

Então, vamos passar o valor de z para o lado direito da equação e tentar analisar um pouco mais:

$x+2y=200-z$

Se z=0 -> $x+2y=200$ -> 101 possibilidades
Se z= 1 -> $x+2y=199$ -> 100 possibilidades
Se z=2 -> $x+2y=198$ -> 100 possibilidades

…

Se z=199 -> $x+2y=1$ -> 1 possibilidade
Se z=200 -> $x+2y=0$ -> 1 possibilidade

Então, note que somando as possibilidades temos:

101+100+100+99+99+...+2+2+1+1

Que é a soma de duas progressões aritméticas:

(101+100+...+1)+(100+99+...+1)=

$frac{(101+1)cdot 101}{2}+frac{(100+1)cdot 100}{2}=$

$frac{102cdot 101+101cdot 100}{2}=$

$frac{202cdot 101}{2}=$

$101cdot 101=101^2$ -> total de possibilidades para pacote

c) Vamos chamar de x a quantidade de latas E1, de y a quantidade de latas E2, de z a quantidade de latas M1 e de w a quantidade de latas M2. Assim, temos a equação:

$xcdot 1+ycdot 2 +zcdot wcdot 2=200$

$x+2y+z+2w=200$

Passando a variável w para o lado direito:

$x+2y+z=20-2w$

Veja o lado direito da equação sempre será um número par. Assim, podemos condicionar o número de soluções da equação da forma $x+2y+z=a$ como $(frac{a}{2}+1)^2$ . Vamos então fazer a mesma lógica que fizemos para a letra B.