Questão 76422

FUVEST 2022

Matemática

(Fuvest-Ete 2022) O domínio da função f dada por $f(x)=sqrt{frac{x^2+3x}{2-sqrt{2-x}}}$ é o conjunto

$] -4, -3[cup ]-1, 0[$

$[-3, -2[cup [0, 2]$

$]-2, 0] cup [2, 4]$

$[-1,0] cup [2, 3]$

$]-4, -3]cup ]-2, 1[$

Gabarito:

$[-3, -2[cup [0, 2]$

Resolução:

O domínio dessa função precisa atender algumas restrições, são elas: $2-sqrt{2-x} eq0$ , pois o denominador de uma fração não pode ser zero, $2-xgeq 0$ e $frac{x^2+3x}{2-sqrt{2-x}}geq 0$ , pois não existe raiz quadrada real de um número negativo.

Da primeira condição temos:

$2-sqrt{2-x} eq0$

$-sqrt{2-x} eq-2$

$sqrt{2-x} eq2$

$2-x eq4$

$-x eq2$

$x eq-2$

Para a segunda condição temos:

$2-xgeq 0$

$xleq 2$

Para a terceira condição deve ser analizado indiviualmente numerador e denominador, para isso deve ser encontrado as raizes nos dois casos:

Para o numerador:

$x^2+3x=0$

$x(x+3)=0$

$x=0$ ou $x=-3$

Para o denominador:

$2-sqrt{2-x}=0$

$2-x=4$

$-x=2$

$x=-2$

Fazendo o estudo dos sinais

Então, para que $frac{x^2+3x}{2-sqrt{2-x}}geq 0$ , $xepsilon [-3,-2)cup [0,2]$ . Fazendo a intersecção entre as três restrições conclui-se que:

$xepsilon [-3,-2)cup [0,2]$

Por tanto a alternativa correta é a alternativa B

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