Questão 36982

IME 2005

Matemática

(IME - 2004/2005 - 2 FASE ) Considere uma elipse de focos F e F' e M, um ponto qualquer dessa curva. Traçam-se por M duas secantes MF e MF', que interceptam a elipse em P e P', respectivamente. Demonstre que a soma (MF/FP) + (MF'/F'P') é constante.

Dica: Calcule inicialmente (1/MF) + (1/FP).

Gabarito:

Resolução:

Em geral, problemas envolvendo cordas focais são facilitados quando a equação astronômica das elipses é utilizada:

$MF=frac{2a}{1-pcdotcos heta}$

onde p é o parâmetro da elipse:

$p=frac{c}{a},quad a^2=b^2+c^2$

sendo 2a e 2b seus eixos maior e menor respectivamente e 2c é sua distância FF'. Seja $heta$ e $varphi$ como definidos na figura, aplicando as lei cos cossenos obtemos:

$egin{cases} cos heta=dfrac{MF^2+(2c)^2-Mf^2}{2cdot 2ccdot MF}\\ cosvarphi=dfrac{Mf^2+(2c)^2-MF^2}{2cdot 2ccdot MF} end{cases}$

utilizando a equação astronômica para calcular MF e FP:

$egin{cases} MF=dfrac{2a}{1-frac{c}{a}cdot cos heta}\\ FP=dfrac{2a}{1-frac{c}{a}cdotcos( heta+pi)}=dfrac{2a}{1+frac{c}{a}cdotcos heta} end{cases}$

substituindo os valores de cosθ nestas expressões:

$egin{cases} MF=dfrac{2a}{1-dfrac{MF^2+4c^2-Mf^2}{4acdot MF}}=dfrac{8a^2cdot MF}{4acdot MF-MF^2-4c^2+Mf^2}\\ FP=dfrac{2a}{1+dfrac{MF^2+4c^2-Mf^2}{4acdot MF}}= dfrac{8a^2cdot MF}{4acdot MF+MF^2+4c^2-Mf^2} end{cases}$

Calculando então a razão entre estas duas medidas:

$egin{matrix} frac{MF}{FP}=&;dfrac{4acdot MF+MF^2+4c^2-Mf^2}{4acdot MF-MF^2-4c^2+Mf^2}\\ =&;dfrac{4acdot MF+(MF+MF)(MF-MF)+4c^2}{4acdot MF+(MF+MF)(Mf-MF)-4c^2}\\ =&;dfrac{4acdot MF+2a(MF-MF)+4c^2}{4acdot MF+2a(Mf-MF)-4c^2}\\ =&;dfrac{6acdot MF-2acdot Mf+4c^2}{2acdot MF+2acdot Mf-4c^2}\\ =&;dfrac{6acdot MF-2acdot (2a-MF)+4c^2}{2acdot (MF+MF)-4c^2}\\ =&;dfrac{8acdot MF-4a^2+4c^2}{2acdot 2a-4c^2}\\ =&;dfrac{2acdot MF-(a^2-c^2)}{a^2-c^2}\\ =&;dfrac{2acdot MF-b^2}{b^2}\\ end{matrix}$

de maneira análoga podemos chega no resultado:

$egin{matrix} frac{MF}{fP}=&;dfrac{2acdot Mf-b^2}{b^2}\\ end{matrix}$

somando os dois obtemos:

$egin{matrix} frac{MF}{FP}+frac{MF}{fP}=&;dfrac{2acdot MF-b^2}{b^2}+dfrac{2acdot Mf-b^2}{b^2}\\ =&;dfrac{2acdot (MF+MF)-2b^2}{b^2}\\ =&;dfrac{4a^2-2b^2}{b^2} end{matrix}$

que independe da escolha de M sobre a elipse.

Questão 36982

IME 2005

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