Questão 37391
IME 2005
(IME - 2005/2006 - 2 FASE)
Considere o polinômio:
x5 - 3x4 - 3x3 + 27x2 - 44x + 30
Sabendo que o produto de duas raízes de suas raízes complexas é igual a 3 - i e que as partes reais e imaginárias de todas as suas raízes complexas são inteiras e não-nulas, calcule todas as raízes do polinômio.
Gabarito:
Resolução:
RESPOSTA: 2 + i, 2 - i, 1 + i, 1 - i e -3.
i) Como os coeficientes todos são reais, sabemos que as raízes complexos são em duplas: .
ii) Multiplicação de conjugados dá sempre um número real, então a multiplicação dita no enunciado é entre não conjugados:
e
Lembrando que os valores de a,b,c,d são inteiros não nulos.
iii) Somando todas as raízes:
iv)Multiplicando todas as raízes:
Nenhum dos fatores pode ser 1, porque nenhuma das variáveis pode ser nula. Sabemos então que os dois termos são 2 e 5.
Sem perda de generalidade, vamos considerar que:
, como a e b são inteiros não nulos, concluímos que
-> raízes:
, precisamos descobrir o sinal de
.
Além disso:
-> um dos termos é 4 e outro 1.
v) Das equações anteriores:
e
Para :
->
Para :
->
vi) Mas também temos a condição de , que só é estabelecida pelo primeiro sistema.
Dessa forma, descobrimos que as raízes são: .